Capítulo 01: Lógica para máquinas: proposicional, primer orden y resolución

Entrando en el tema

Discutes con alguien sobre el horario de un vuelo. Tú dices: «Si el vuelo sale tarde, perdemos la conexión. Y el vuelo sale tarde». La otra persona, sin mirar nada más, concluye: «Entonces perdemos la conexión». Nadie ha consultado la pantalla de salidas. La conclusión no viene de los datos, viene de la forma del razonamiento. Da igual que hablemos de vuelos, facturas o reactores nucleares: si aceptas las dos primeras frases, la tercera es inevitable.

Esa inevitabilidad es lo que estudia la lógica. No le importa de qué hablas, le importa cómo encajan las afirmaciones. Y esa indiferencia al contenido es justo lo que la hace mecanizable: si una conclusión se sigue por pura forma, una máquina puede comprobarlo sin entender de qué va el asunto.

Este capítulo trata de cómo se le enseña a razonar a una máquina con garantías. No con plausibilidad, no con «suena bien», sino con la clase de certeza que tiene «2 + 2 = 4». Es la base de la IA simbólica, la rama que durante décadas fue la inteligencia artificial, y que hoy sigue sosteniendo cosas muy concretas: los solvers SAT del Facsímil 2, los validadores que aprueban o rechazan la salida de un modelo, las ontologías OWL que dicen qué se puede inferir de un grafo. Cuando un agente del Facsímil 5 decide que una acción está permitida, por debajo hay reglas que se evalúan con esta maquinaria.

Vamos a recorrer tres niveles. Primero la lógica proposicional: enunciados enteros que son verdaderos o falsos. Después la regla de resolución, el único mecanismo de inferencia que necesita una máquina para demostrar cualquier cosa demostrable. Y por último la lógica de primer orden, que añade objetos, relaciones y cuantificadores, y nos lleva directos a Prolog y a la programación lógica.

Lógica proposicional: enunciados que valen verdadero o falso

La pieza más pequeña de la lógica proposicional es la proposición: una afirmación que es verdadera o falsa, sin medias tintas. «Llueve», «el usuario es administrador», «el importe supera el límite». No nos interesa su contenido interno, solo su valor de verdad. Por eso usamos letras: $p$, $q$, $r$, o nombres más legibles como $\textit{admin}$, $\textit{borrar}$.

A partir de ahí, combinamos proposiciones con conectivas. Son cinco, y conviene conocerlas con precisión porque toda la maquinaria descansa en ellas.¹

Conectiva	Símbolo	Lectura	Ejemplo cotidiano
Negación	$\neg$	«no»	$\neg\textit{admin}$: el usuario no es administrador.
Conjunción	$\land$	«y»	$\textit{admin} \land \textit{activo}$: es administrador y está activo.
Disyunción	$\lor$	«o» (inclusivo)	$\textit{email} \lor \textit{banner}$: sale por email, por banner o por ambos.
Implicación	$\rightarrow$	«si... entonces»	$\textit{admin} \rightarrow \textit{borrar}$: si es administrador, puede borrar.
Bicondicional	$\leftrightarrow$	«si y solo si»	$\textit{activo} \leftrightarrow \textit{pagado}$: activo exactamente cuando ha pagado.

La sintaxis dice qué cadenas están bien formadas: una variable es una fórmula; si $\varphi$ es fórmula, $\neg\varphi$ también lo es; si $\varphi$ y $\psi$ lo son, también lo son $(\varphi \land \psi)$, $(\varphi \lor \psi)$, $(\varphi \rightarrow \psi)$ y $(\varphi \leftrightarrow \psi)$. Nada más es una fórmula. Esta definición recursiva es la misma idea que un árbol de sintaxis en un compilador: las fórmulas se construyen unas dentro de otras.

La semántica dice qué significan. Una interpretación (o asignación) es una función que da verdadero o falso a cada variable:

$$v : \{p_1, p_2, \dots, p_n\} \rightarrow \{V, F\}$$

En palabras: fijar una interpretación es rellenar, una por una, las casillas de «verdadero» o «falso» de cada variable; es elegir uno de los mundos posibles entre los que la fórmula podría vivir.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$v$	Interpretación: una forma concreta de fijar los valores.	$v(\textit{admin})=V,\ v(\textit{activo})=F$.
$p_i$	Variable proposicional.	$\textit{admin}$, $\textit{borrar}$.
$\{V,F\}$	Los dos valores de verdad posibles.	Verdadero o falso.

Dada una interpretación, el valor de cualquier fórmula se calcula de dentro hacia fuera siguiendo las tablas de cada conectiva. La conectiva que más sorprende al principio es la implicación: $\textit{admin} \rightarrow \textit{borrar}$ solo es falsa cuando $\textit{admin}$ es verdadero y $\textit{borrar}$ es falso. Si el usuario no es administrador, la promesa «si eres administrador, puedes borrar» no se ha roto: simplemente no aplica, y por convención la consideramos verdadera. Esa convención (la implicación material) es la que permite razonar con reglas sin tener que comprobar antes si se dan sus condiciones.

Tablas de verdad, tautologías y la diferencia entre validez y satisfacibilidad

Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones posibles de valores de las variables y, para cada una, da el valor de la fórmula. Con $n$ variables hay $2^n$ filas. Esta es la tabla con las cinco conectivas a la vez:

$A$	$B$	$\neg A$	$A \land B$	$A \lor B$	$A \rightarrow B$	$A \leftrightarrow B$
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

La tabla de verdad es el método más bruto y más seguro que existe: si quieres saber qué hace una fórmula, la calculas en sus cuatro, ocho o dieciséis filas. El problema es que crece de forma explosiva. Con 30 variables ya tienes más de mil millones de filas. Esa explosión es exactamente la frontera de complejidad de SAT que vimos en el Facsímil 2: decidir si una fórmula proposicional tiene algún modelo es el primer problema que se demostró NP-completo.²

Con la tabla en la mano podemos clasificar cualquier fórmula:

Clase	Definición	Ejemplo
Tautología (válida)	Verdadera en todas las interpretaciones.	$A \lor \neg A$: o llueve o no llueve.
Contradicción (insatisfacible)	Falsa en todas las interpretaciones.	$A \land \neg A$: llueve y no llueve.
Satisfacible	Verdadera en al menos una interpretación.	$A \land B$: basta con $A=V, B=V$.
Contingente	Verdadera en unas y falsa en otras.	$A \rightarrow B$: depende de $A$ y $B$.

Aquí aparece una de las distinciones más importantes del capítulo, y la que más confusión genera:

• Validez pregunta: ¿es verdadera siempre? Es una propiedad fuerte. Una fórmula válida no aporta información sobre el mundo, porque se cumple pase lo que pase.
• Satisfacibilidad pregunta: ¿es verdadera alguna vez? Es una propiedad débil. Que algo sea satisfacible solo dice que no es contradictorio.

Las dos están conectadas por la negación, y esta equivalencia es el puente que usan los demostradores automáticos:

$$\varphi \text{ es válida} \quad\Longleftrightarrow\quad \neg\varphi \text{ es insatisfacible}$$

En palabras: demostrar que algo se cumple pase lo que pase es exactamente lo mismo que demostrar que su contrario no puede cumplirse en ningún escenario.

Léelo despacio, porque es la idea sobre la que se construye todo lo que viene después. Si quiero demostrar que algo es verdadero siempre, me basta con demostrar que su negación no puede ser verdadera nunca. En lugar de comprobar infinitas (o exponencialmente muchas) interpretaciones buenas, busco una sola contradicción. Un solver SAT, que solo sabe responder «satisfacible» o «insatisfacible», se convierte así en un demostrador de teoremas: para probar $\varphi$, le pides que intente satisfacer $\neg\varphi$; si fracasa, $\varphi$ queda demostrada.

Pruébalo aquí mismo: calculadora de tablas de verdad

No hace falta esperar al cuaderno para ver esto funcionar. Escribe una fórmula y la tabla aparece al instante, con su clasificación: tautología (verdadera en todas las filas), contradicción (falsa en todas) o contingente (depende de los valores). Prueba con p ∨ ¬p (tautología), p ∧ ¬p (contradicción) o el clásico (p -> q) & (q -> r).

Cambia la fórmula y observa: cuando algo es una tautología, ninguna fila de la última columna es falsa; cuando lo niegas, ninguna es verdadera. Esa es, en miniatura, la maquinaria que un solver SAT hace a gran escala sin enumerar todas las filas.

Equivalencias: reescribir sin cambiar el significado

Dos fórmulas son equivalentes ($\equiv$) si tienen la misma tabla de verdad. Equivalente no significa idéntico: significa intercambiable, como $\tfrac{2}{4}$ y $\tfrac{1}{2}$. Estas son las equivalencias que más se usan al preparar fórmulas para una máquina:

Nombre	Equivalencia	Para qué sirve
Eliminar implicación	$A \rightarrow B \;\equiv\; \neg A \lor B$	Quitar el $\rightarrow$, que un solver no consume directamente.
Contrapositiva	$A \rightarrow B \;\equiv\; \neg B \rightarrow \neg A$	Razonar hacia atrás (es la base de modus tollens).
Doble negación	$\neg\neg A \;\equiv\; A$	Simplificar.
De Morgan	$\neg(A \land B) \;\equiv\; \neg A \lor \neg B$	Empujar la negación hacia dentro.
De Morgan	$\neg(A \lor B) \;\equiv\; \neg A \land \neg B$	Lo mismo, dual.
Distributiva	$A \lor (B \land C) \;\equiv\; (A \lor B) \land (A \lor C)$	Convertir a forma normal conjuntiva.

Forma normal conjuntiva: el formato que las máquinas entienden

Una máquina no quiere fórmulas con paréntesis anidados y conectivas mezcladas. Quiere un formato plano y uniforme. Ese formato es la forma normal conjuntiva (CNF, por sus siglas en inglés): una conjunción de cláusulas, donde cada cláusula es una disyunción de literales, y un literal es una variable o su negación.

$$\varphi = \bigwedge_{j=1}^{m} C_j, \qquad C_j = \bigvee_{\ell \in L_j} \ell, \qquad \ell \in \{p_i, \neg p_i\}$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$\bigwedge_{j=1}^{m}$	Conjunción de las $m$ cláusulas: todas deben cumplirse a la vez.	Las dos cláusulas de la regla de permisos juntas.
$C_j$	La cláusula número $j$, una disyunción de literales.	$(\neg\textit{admin} \lor \textit{borrar})$.
$\bigvee_{\ell \in L_j}$	Disyunción dentro de la cláusula: basta con un literal verdadero.	$\textit{borrar}$ o $\neg\textit{admin}$.
$\ell$	Un literal: una variable o su negación.	$\textit{admin}$, $\neg\textit{admin}$.

En palabras: una fórmula en forma normal conjuntiva es una lista de exigencias unidas por «y», donde cada exigencia es un menú de opciones unidas por «o»; se cumple solo si en cada cláusula al menos un literal sale verdadero.

Es exactamente la misma CNF del capítulo de SAT del Facsímil 2: una lista de cláusulas que deben cumplirse todas, donde cada cláusula se satisface si al menos uno de sus literales es verdadero. Toda fórmula proposicional se puede llevar a CNF con tres pasos mecánicos:

1. Eliminar implicaciones y bicondicionales con las equivalencias de arriba.
2. Empujar las negaciones hasta pegarlas a las variables, usando De Morgan y doble negación.
3. Distribuir $\lor$ sobre $\land$ hasta que la fórmula sea una conjunción de disyunciones.

Veámoslo con una regla de permisos. Queremos pasar a CNF la frase «si Ana es administradora, entonces puede borrar y queda registrada en auditoría»:

$$\textit{admin} \rightarrow (\textit{borrar} \land \textit{auditar})$$

Paso	Resultado	Qué hemos hecho
Partida	$\textit{admin} \rightarrow (\textit{borrar} \land \textit{auditar})$	La regla original.
Quitar $\rightarrow$	$\neg\textit{admin} \lor (\textit{borrar} \land \textit{auditar})$	Aplicamos $A \rightarrow B \equiv \neg A \lor B$.
Distribuir	$(\neg\textit{admin} \lor \textit{borrar}) \land (\neg\textit{admin} \lor \textit{auditar})$	Repartimos el $\lor$ sobre el $\land$.

El resultado son dos cláusulas: $(\neg\textit{admin} \lor \textit{borrar})$ y $(\neg\textit{admin} \lor \textit{auditar})$. Una sola regla de negocio se ha convertido en dos cláusulas limpias, listas para un solver o para la regla de resolución que viene ahora.

Inferencia: de las reglas a la resolución

Hasta aquí hemos descrito fórmulas. Pero el objetivo de la lógica es inferir: a partir de unas premisas que aceptamos, obtener conclusiones que estábamos obligados a aceptar. La relación clave se llama consecuencia lógica y se escribe con la doble barra:

$$\Gamma \models \psi$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$\Gamma$	El conjunto de premisas que aceptamos como verdaderas.	$\{\textit{admin},\ \textit{admin} \rightarrow \textit{borrar}\}$.
$\models$	«tiene como consecuencia lógica»: la doble barra.	Lo que separa premisas de conclusión.
$\psi$	La conclusión que queremos justificar.	$\textit{borrar}$.

En palabras: siempre que todas las premisas sean verdaderas, la conclusión también lo es; no existe ningún escenario que cumpla las premisas y falle la conclusión.

Significa: en toda interpretación que hace verdaderas todas las fórmulas del conjunto $\Gamma$, también $\psi$ es verdadera. No dice «$\psi$ es verdadera», dice «$\psi$ es verdadera siempre que lo sean las premisas». Es el «entonces perdemos la conexión» del principio del capítulo: no afirmamos nada sobre el mundo, afirmamos que la conclusión va incluida en lo que ya hemos aceptado.

Reglas clásicas: modus ponens y modus tollens

Durante siglos, razonar fue aplicar reglas con nombre. Dos de ellas siguen siendo el pan de cada día:

Regla	Forma	Lectura
Modus ponens	De $A$ y $A \rightarrow B$, deriva $B$.	«Es administrador; si es administrador puede borrar; luego puede borrar.»
Modus tollens	De $\neg B$ y $A \rightarrow B$, deriva $\neg A$.	«No quedó registrado en auditoría; si fuera administrador habría quedado; luego no es administrador.»

Modus ponens razona hacia delante; modus tollens, hacia atrás por la contrapositiva. Son válidas y útiles, pero tienen un problema para una máquina: hay decenas de reglas de este estilo, y elegir cuál aplicar en cada momento es un arte. Sería mucho mejor disponer de una sola regla que, aplicada mecánicamente, baste para demostrar cualquier consecuencia. Esa regla existe.

La regla de resolución

En 1965, John Alan Robinson publicó una regla de inferencia pensada para máquinas, no para humanos.³ La idea es de una simplicidad desconcertante. Si en una cláusula aparece un literal $\ell$ y en otra aparece su complementario $\neg\ell$, esos dos no pueden ser verdaderos a la vez, así que se cancelan, y el resto de ambas cláusulas se une en una cláusula nueva:

$$\frac{(\ell \lor A) \qquad (\neg\ell \lor B)}{(A \lor B)}$$

Símbolo	Significado
$\ell$	Literal que aparece afirmado en una cláusula.
$\neg\ell$	Su complementario, que aparece en la otra.
$A$, $B$	El resto de literales de cada cláusula (pueden estar vacíos).
$(A \lor B)$	El resolvente: la cláusula nueva que se deriva.

En palabras: si una cláusula afirma algo y otra lo niega, ese algo no puede inclinar la balanza, así que se tacha y los literales que quedan en ambas se juntan en una cláusula nueva.

Un caso particular merece nombre propio. Cuando una de las cláusulas es un solo literal, la regla se llama resolución unitaria, y es justo la propagación unitaria de DPLL del Facsímil 2: de $(\ell)$ y $(\neg\ell \lor B)$ se obtiene $(B)$. Modus ponens, de hecho, no es más que un caso de resolución: $A$ es la cláusula $(A)$, $A \rightarrow B$ es la cláusula $(\neg A \lor B)$, y al resolverlas sale $(B)$. Una sola regla absorbe a las clásicas.

¿Y qué pasa cuando resolvemos $(\ell)$ con $(\neg\ell)$, dos literales solos y opuestos? No queda nada. El resolvente es la cláusula vacía, que se escribe como un cuadro vacío. Una cláusula es verdadera si alguno de sus literales lo es; la cláusula vacía no tiene literales, así que no puede ser verdadera nunca. Es la contradicción hecha símbolo. Encontrarla es la señal de que algo en nuestro conjunto de cláusulas es imposible.

Demostrar por refutación

Esto enlaza con el puente que vimos antes (validez es insatisfacibilidad de la negación) y da el método estrella de la lógica computacional: la prueba por refutación. Para demostrar que $\psi$ se sigue de unas premisas $\Gamma$, no intentamos derivar $\psi$ directamente. Hacemos lo contrario:⁴

1. Suponemos lo contrario de lo que queremos probar: añadimos $\neg\psi$ a las premisas.
2. Pasamos todo a CNF: $\Gamma \land \neg\psi$ se convierte en un conjunto de cláusulas.
3. Aplicamos resolución una y otra vez, derivando resolventes.
4. Si llegamos a la cláusula vacía, hemos encontrado una contradicción. Eso significa que $\Gamma \land \neg\psi$ es insatisfacible, y por tanto $\Gamma \models \psi$.

Visto de lejos, todo el método es una sola tubería: una fórmula entra por un extremo y, si la conclusión se seguía de verdad, sale por el otro convertida en la cláusula vacía.

Suena a truco, pero es la forma de razonar de todo demostrador automático serio. Tomemos un ejemplo concreto, del mundo de los permisos que tanto aparece en el facsímil. Las premisas:

• «Si Ana es administradora, puede borrar»: $\textit{admin} \rightarrow \textit{borrar}$, es decir la cláusula $(\neg\textit{admin} \lor \textit{borrar})$.
• «Si puede borrar, la acción queda registrada en auditoría»: $\textit{borrar} \rightarrow \textit{auditar}$, es decir $(\neg\textit{borrar} \lor \textit{auditar})$.
• «Ana es administradora»: $(\textit{admin})$.

Queremos demostrar: $\textit{auditar}$, o sea, que la acción quedará registrada. Negamos la conclusión y añadimos $(\neg\textit{auditar})$. El conjunto de cláusulas es:

$$C_1 = (\neg\textit{admin} \lor \textit{borrar}),\quad C_2 = (\neg\textit{borrar} \lor \textit{auditar}),\quad C_3 = (\textit{admin}),\quad C_4 = (\neg\textit{auditar})$$

Y la refutación va así, paso a paso:

Paso	Resolvemos	Sobre el literal	Resolvente
1	$C_3$ y $C_1$	$\textit{admin}$	$(\textit{borrar})$
2	paso 1 y $C_2$	$\textit{borrar}$	$(\textit{auditar})$
3	paso 2 y $C_4$	$\textit{auditar}$	(vacía)

Hemos llegado a la cláusula vacía. La suposición «la acción no queda registrada» era incompatible con las premisas, así que la conclusión queda demostrada: la acción quedará registrada en auditoría. El árbol de esta refutación es el siguiente.

Corrección y completitud

¿Por qué fiarse de este procedimiento? Por dos propiedades que cualquier mecanismo de inferencia debe ganarse:

• Corrección (en inglés soundness): la regla nunca miente. Todo lo que la resolución deriva es de verdad una consecuencia lógica de las premisas. Si llega a la cláusula vacía, el conjunto era de verdad insatisfacible. Una máquina correcta jamás demuestra algo falso.
• Completitud (completeness): la regla no se deja nada por demostrar. Si un conjunto de cláusulas es insatisfacible, la resolución es capaz de derivar la cláusula vacía a partir de él. Esto se conoce como completitud refutacional, y es el resultado profundo del trabajo de Robinson.

Juntas dicen algo extraordinario: con esta única regla, aplicada de forma mecánica, una máquina puede demostrar exactamente las consecuencias lógicas verdaderas, ni una más ni una menos. No necesita ingenio, no necesita elegir entre decenas de reglas. Necesita combinar cláusulas hasta encontrar la vacía. Esa es la promesa de la demostración automática de teoremas, y su raíz histórica está en el algoritmo de Davis, Putnam, Logemann y Loveland, anterior a la resolución y todavía vivo en el corazón de los solvers SAT.⁵

Lógica de primer orden: objetos, relaciones y cuantificadores

La lógica proposicional tiene un techo bajo. Imagina la frase «todos los administradores pueden borrar». En proposicional, «Ana es administradora», «Luis es administrador» y «Marta es administradora» son tres variables sin ninguna relación entre sí. No hay forma de decir «todos» de golpe: tendrías que escribir una regla por persona, y si mañana entra alguien nuevo, tu lógica no sabe nada de ella. La estructura interna de los enunciados (que hablan de objetos que tienen propiedades y mantienen relaciones) se pierde por completo.

La lógica de primer orden (FOL) rompe ese techo. Distingue piezas dentro de cada enunciado:

Pieza	Qué es	Ejemplo
Constantes	Objetos concretos del dominio.	$\textit{ana}$, $\textit{factura9}$.
Variables	Objetos cualesquiera, sin fijar.	$x$, $y$.
Predicados	Propiedades o relaciones, verdaderas o falsas.	$\textit{Admin}(x)$, $\textit{PuedeBorrar}(x)$, $\textit{Aprueba}(x, y)$.
Funciones	Aplicaciones que devuelven un objeto a partir de otros.	$\textit{jefe}(x)$, $\textit{madre}(x)$.
Cuantificadores	Alcance sobre los objetos.	$\forall$ («para todo»), $\exists$ («existe»).

Con esto, «todos los administradores pueden borrar» se escribe de una vez y vale para Ana, para Luis y para quien entre mañana:

$$\forall x \,\big(\textit{Admin}(x) \rightarrow \textit{PuedeBorrar}(x)\big)$$

En palabras: sea quien sea ese objeto $x$, si resulta ser administrador entonces puede borrar; la regla vale para todos a la vez, también para quien entre mañana.

Y «existe al menos un administrador» se escribe:

$$\exists x \, \textit{Admin}(x)$$

En palabras: hay como mínimo un objeto del que es cierto que es administrador, aunque no digamos cuál.

Los dos cuantificadores son duales, conectados por la negación de la misma forma que las leyes de De Morgan conectaban $\land$ y $\lor$: «no todos cumplen $P$» es lo mismo que «existe alguno que no cumple $P$».

$$\neg \forall x\, P(x) \;\equiv\; \exists x\, \neg P(x) \qquad\qquad \neg \exists x\, P(x) \;\equiv\; \forall x\, \neg P(x)$$

En palabras: negar un «para todo» equivale a afirmar que existe al menos una excepción; negar un «existe» equivale a afirmar que la propiedad falla para todos sin excepción.

Esta capacidad expresiva es justo lo que hay debajo de las ontologías OWL y las lógicas de descripción del Facsímil 2: cuando declaras que «toda factura pertenece a exactamente un cliente», estás escribiendo una fórmula cuantificada de primer orden (restringida, para que el razonamiento siga siendo tratable). FOL es el lenguaje madre de toda esa familia.⁶

Skolemización: deshacerse de «existe»

La resolución trabaja con cláusulas, y las cláusulas no tienen cuantificadores explícitos. Para aplicar resolución en primer orden hay que preparar las fórmulas, y el paso más curioso es la skolemización: eliminar los cuantificadores existenciales sustituyendo la variable que afirman que existe por un objeto concreto.

La intuición es esta. Si digo $\exists x\, \textit{Admin}(x)$, «existe un administrador», puedo darle un nombre a ese administrador que sé que existe: lo llamo $a_0$ (una constante de Skolem) y reescribo $\textit{Admin}(a_0)$. Si el «existe» está dentro de un «para todo» (cada empleado tiene un jefe: $\forall x\, \exists y\, \textit{Jefe}(y, x)$), el objeto que existe depende de $x$, así que en lugar de una constante uso una función de Skolem: $\forall x\, \textit{Jefe}(\textit{jefe}(x), x)$. No estamos inventando información: solo le ponemos nombre a algo cuya existencia ya habíamos afirmado. Tras skolemizar, todos los cuantificadores son universales y se pueden dar por supuestos, y la fórmula se lleva a cláusulas como en proposicional.

Unificación: el motor del primer orden

Aquí está la pieza que de verdad distingue la resolución de primer orden. En proposicional, dos literales se cancelaban si uno era exactamente el complementario del otro. En primer orden, los literales tienen variables, y casi nunca coinciden palabra por palabra. $\textit{Admin}(x)$ y $\textit{Admin}(\textit{ana})$ no son idénticos, pero está claro que el primero «encaja» con el segundo si hacemos que $x$ sea $\textit{ana}$. Encontrar ese encaje es la unificación: buscar una sustitución de variables que iguale dos expresiones.

Una sustitución se escribe como un conjunto de reemplazos, por ejemplo $\sigma = \{x/\textit{ana},\ y/\textit{jefe}(\textit{ana})\}$, que se lee «pon $\textit{ana}$ donde haya $x$ y $\textit{jefe}(\textit{ana})$ donde haya $y$». El algoritmo de unificación recorre las dos expresiones en paralelo:

Caso	Qué hace
Dos constantes iguales	Siguen adelante; no hace falta sustituir nada.
Dos constantes distintas	Fallo: $\textit{ana}$ y $\textit{luis}$ no se pueden igualar.
Una variable y un término	Sustituye la variable por el término (si la variable no aparece dentro del término, lo que se llama comprobación de ocurrencia).
Dos predicados o funciones	Deben tener el mismo nombre y aridad; entonces unifica argumento a argumento.

Un ejemplo trabajado. Queremos unificar:

$$\textit{Aprueba}(x,\ \textit{factura}(x)) \qquad\text{y}\qquad \textit{Aprueba}(\textit{ana},\ z)$$

Recorremos los argumentos. El primero: $x$ frente a $\textit{ana}$, variable contra constante, sustituimos $\{x/\textit{ana}\}$. Aplicamos esa sustitución al resto, con lo que $\textit{factura}(x)$ se vuelve $\textit{factura}(\textit{ana})$. El segundo argumento: $\textit{factura}(\textit{ana})$ frente a $z$, sustituimos $\{z/\textit{factura}(\textit{ana})\}$. El resultado es el unificador:

$$\sigma = \{\,x/\textit{ana},\ \ z/\textit{factura}(\textit{ana})\,\}$$

Aplicado a ambos literales, los dos se vuelven $\textit{Aprueba}(\textit{ana},\ \textit{factura}(\textit{ana}))$: idénticos. El algoritmo siempre encuentra, si existe, el unificador más general, el que sustituye lo mínimo imprescindible y deja todo lo demás libre. Esa generalidad es lo que hace que una sola derivación valga para infinitos casos concretos.

El recorrido completo de ese ejemplo, argumento a argumento, es el siguiente.

Resolución de primer orden

Con la unificación, la regla de resolución se generaliza casi sola: para cancelar dos literales complementarios, primero los unificamos y luego aplicamos la sustitución al resolvente. El ejemplo canónico, con más de dos mil años de antigüedad, es la mortalidad de Sócrates:

• «Todos los humanos son mortales»: $\forall x\,(\textit{Humano}(x) \rightarrow \textit{Mortal}(x))$, que en cláusula es $(\neg\textit{Humano}(x) \lor \textit{Mortal}(x))$.
• «Sócrates es humano»: $(\textit{Humano}(\textit{socrates}))$.
• Queremos probar: $\textit{Mortal}(\textit{socrates})$. Negamos: $(\neg\textit{Mortal}(\textit{socrates}))$.

Resolvemos. La cláusula $(\neg\textit{Humano}(x) \lor \textit{Mortal}(x))$ y $(\textit{Humano}(\textit{socrates}))$ se unifican con $\sigma = \{x/\textit{socrates}\}$, cancelando $\textit{Humano}$, y dan $(\textit{Mortal}(\textit{socrates}))$. Esta y $(\neg\textit{Mortal}(\textit{socrates}))$ se cancelan y dan la cláusula vacía. Sócrates es mortal. La estructura es idéntica a la refutación proposicional de antes; lo único nuevo es que la unificación ha hecho el trabajo de emparejar la regla general con el caso concreto.

Cláusulas de Horn y la conexión con Prolog

La resolución de primer orden es completa, pero buscar a ciegas entre todas las combinaciones de cláusulas es caro. Resulta que si restringimos un poco la forma de las cláusulas, el razonamiento se vuelve mucho más manejable y, además, se parece muchísimo a programar.

Una cláusula de Horn es una cláusula con como mucho un literal positivo. Suena técnico, pero tiene una lectura cotidiana preciosa. Una cláusula de Horn con exactamente un positivo, como $(\neg A \lor \neg B \lor C)$, es equivalente a la implicación $(A \land B) \rightarrow C$: «si se cumplen $A$ y $B$, entonces $C$». Es decir, una regla. Y eso es exactamente lo que escribes cuando programas en Prolog, solo que del revés:

% C :- A, B.   se lee "C es cierto si A y B lo son"
puede_borrar(X) :- administrador(X), cuenta_activa(X).

administrador(ana).
cuenta_activa(ana).

% Pregunta:
?- puede_borrar(ana).
% Prolog responde: true

Prolog es, en el fondo, un motor de resolución sobre cláusulas de Horn.⁷ Cuando le preguntas ?- puede_borrar(ana), niega el objetivo (como en la refutación) e intenta derivar la cláusula vacía encadenando reglas hacia atrás: para probar puede_borrar(ana) necesita administrador(ana) y cuenta_activa(ana), que están como hechos, así que cierra la prueba. Esta estrategia dirigida por el objetivo se llama resolución SLD, y es lo que hace que Prolog sea a la vez una lógica y un lenguaje de programación: el mismo texto se lee como especificación declarativa («qué es verdad») y como programa («cómo calcularlo»).

La teoría que garantiza que esto funciona (que el significado lógico de un programa Prolog y su comportamiento al ejecutarse coinciden) es la base de la programación lógica.⁸ Y hay un bono de eficiencia: decidir la satisfacibilidad de un conjunto de cláusulas de Horn (el problema HORN-SAT) se resuelve en tiempo lineal, no exponencial. Restringirse a Horn nos saca de la zona difícil de SAT que vimos en el Facsímil 2 y nos pone en terreno rápido y predecible. Por eso los motores de reglas, muchos sistemas expertos (que veremos en el capítulo 4 de este facsímil) y buena parte de la programación lógica viven cómodamente en este fragmento.

Los límites: qué puede y qué no puede una máquina lógica

Toda esta potencia tiene fronteras, y conocerlas es parte de usar la lógica con honestidad.

Decidibilidad. La lógica proposicional es decidible: existe un procedimiento que, para cualquier fórmula, termina siempre y responde sí o no (la tabla de verdad, o un solver SAT). Puede ser lento (NP-completo), pero acaba. La lógica de primer orden, en cambio, es solo semidecidible. Si una fórmula es de verdad una consecuencia lógica, la resolución terminará encontrando la prueba; pero si no lo es, el procedimiento puede no detenerse nunca, siguiendo generando resolventes sin llegar a conclusión. No es un defecto de implementación: se demostró que no puede existir ningún algoritmo que decida siempre la validez en primer orden. Hay un límite teórico, no de ingeniería.

Explosión combinatoria. Incluso dentro de lo decidible, el número de cláusulas que se pueden generar crece de forma brutal. La unificación produce resolventes nuevos constantemente, y sin estrategias de control un demostrador se ahoga en su propia producción. La investigación en demostración automática es, en buena medida, la búsqueda de heurísticas para no explorar de más.

El frame problem. Cuando se intentó usar la lógica para que un agente razonara sobre acciones en el mundo (si muevo esta caja, ¿qué cambia y qué sigue igual?), apareció un problema sutil: hace falta declarar explícitamente todo lo que no cambia con cada acción, y eso es inabarcable.⁹ Este frame problem fue uno de los grandes quebraderos de cabeza de la IA simbólica clásica y una de las razones por las que, para ciertos dominios, se buscaron enfoques distintos. Lo mencionamos porque enmarca por qué la lógica pura no se quedó como la única herramienta: convive con la probabilidad (el próximo capítulo) y con el aprendizaje.

En el día a día

Aunque no escribas $\forall$ ni la cláusula vacía en tu trabajo, esta maquinaria está funcionando por debajo de cosas que usas a diario.

Cada vez que un sistema de permisos decide si puedes hacer una acción, evalúa reglas: «si el rol es administrador y la cuenta está activa, permitir». Eso son cláusulas de Horn evaluándose. Cada vez que un validador comprueba que una salida cumple un esquema (un JSON con los campos obligatorios, los tipos correctos, las restricciones de cardinalidad), está aplicando lógica determinista, no plausibilidad. Cada vez que una ontología responde «esta entidad es un documento fiscal porque es una factura, y toda factura lo es», ha hecho una inferencia por subsunción, que es resolución disfrazada.

En el desarrollo de software, los verificadores formales que comprueban que un programa cumple su especificación usan demostradores SMT como Z3, que combinan resolución con teorías (aritmética, arrays, cadenas). Los compiladores optimizan usando análisis lógico. Y en sistemas con LLMs, la lógica es la red de seguridad: el modelo propone, pero una capa lógica verificable decide si la propuesta se ejecuta.

Por qué debería importarte

Porque la diferencia entre «suena correcto» y «es correcto» es exactamente la diferencia entre un modelo generativo y un demostrador lógico. Un LLM te puede dar una respuesta convincente y equivocada con total seguridad. Un razonador lógico correcto nunca afirma algo falso a partir de premisas verdaderas: si dice que algo se sigue, se sigue.

Esa garantía es escasa y valiosa. En todo el resto del facsímil aparecen sistemas que mezclan generación con verificación, y la parte de verificación, la que de verdad protege tus decisiones, casi siempre tiene una lógica determinista debajo. Entender resolución, refutación y la diferencia entre validez y satisfacibilidad te da el vocabulario para saber dónde poner una garantía dura y dónde basta con una sugerencia blanda. Es la misma lección del Facsímil 2: cuando hay reglas que no se pueden violar, la aceptación no debe depender de si la respuesta suena bien.

Dónde solía tropezar yo

Error	Por qué es un error	Antídoto
Confundir validez con satisfacibilidad	Una fórmula satisfacible solo es «no imposible». Una válida es «siempre verdadera». Tratar la primera como la segunda lleva a aceptar cosas que solo se cumplen a veces.	Pregúntate: ¿quiero que se cumpla siempre (validez) o que sea posible (satisfacibilidad)? Recuerda el puente: válida equivale a que su negación sea insatisfacible.
Leer mal la implicación material	$A \rightarrow B$ es verdadera cuando $A$ es falsa. Esperar que «si llueve, llevo paraguas» diga algo cuando no llueve es esperar de más.	Quédate con la única fila falsa: $A$ verdadero y $B$ falso. Solo ahí se rompe la promesa.
Intentar demostrar $\psi$ directamente	Derivar la conclusión a pelo es difícil y poco sistemático.	Usa refutación: niega la conclusión, pásalo todo a CNF y busca la cláusula vacía. Es lo que hace una máquina.
Olvidar la comprobación de ocurrencia al unificar	Unificar $x$ con $\textit{factura}(x)$ crea un término infinito y rompe el algoritmo.	Antes de sustituir $x$ por un término, comprueba que $x$ no aparece dentro de ese término.
Creer que FOL siempre termina	Es solo semidecidible: si la conclusión no se sigue, el demostrador puede no parar nunca.	Pon límites de tiempo o de profundidad, y desconfía de un «todavía pensando» eterno.

Cómo encaja todo

Este capítulo parece un rincón teórico, pero en realidad es el suelo sobre el que se apoyan media docena de cosas que ya viste o que vas a ver en el resto del facsímil. Vale la pena seguir los hilos uno a uno, porque cada uno explica por qué la lógica no es una curiosidad histórica, sino una pieza que sigue trabajando por debajo.

El hilo más directo va al Facsímil 2, capítulo 5, donde aparecieron los solvers SAT. Allí la pregunta era «¿hay alguna forma de asignar valores que cumpla todas estas restricciones a la vez?»: cuadrar un horario sin solapes, colocar las piezas de un sudoku, repartir turnos respetando las reglas. Esa pregunta es, palabra por palabra, la satisfacibilidad de este capítulo. Lo que cambia es el envoltorio: lo que el Facsímil 2 contaba como un problema de búsqueda, aquí se ve como lo que es por dentro, una fórmula en CNF a la que le buscamos un modelo. Y el puente «validez equivale a insatisfacibilidad de la negación» es justo lo que permite usar ese mismo solver no solo para encajar restricciones, sino para demostrar teoremas: le das la vuelta a la pregunta y la máquina te dice si algo se cumple siempre.

El segundo hilo lleva al Facsímil 2, capítulo 8, el de las restricciones como guardrails. Allí la idea era poner barreras duras alrededor de un sistema que genera texto: reglas que no son sugerencias, sino verjas que aceptan o rechazan una salida sin negociar. Eso es exactamente la resolución y la refutación funcionando como portero. Piensa en un asistente que redacta un correo a un cliente: el modelo propone el texto, pero antes de enviarlo una capa de reglas comprueba cosas que no pueden fallar, como que no haya un importe sin formato válido o que no se prometa un descuento no autorizado. Esa comprobación no «suena bien o mal», se cumple o no se cumple, y debajo hay cláusulas evaluándose con la maquinaria de aquí.

El tercer hilo, también en el Facsímil 2, capítulo 12, son las ontologías OWL y las lógicas de descripción. Cuando declaras que «toda factura pertenece a exactamente un cliente» o que «todo documento fiscal es un documento», estás escribiendo fórmulas de primer orden con cuantificadores, solo que con una sintaxis amable y recortada para que el razonamiento siga siendo rápido. Por eso, cuando una ontología deduce sola que una entidad concreta es un documento fiscal porque es una factura, no está adivinando: está haciendo la misma inferencia que vimos con Sócrates, una regla general que se aplica a un caso concreto mediante unificación. La lógica de descripción es primer orden domesticado, y este capítulo es su lengua materna.

El cuarto hilo salta al Facsímil 5, el de los agentes. Un agente que actúa en el mundo necesita saber qué tiene permitido hacer antes de hacerlo, y esos permisos no son intuiciones: son reglas. «Si el rol es administrador y la cuenta está activa, puede borrar» es una cláusula de Horn, idéntica a las que escribíamos en Prolog. Cada vez que el agente se plantea una acción, evalúa esas reglas y la respuesta es un sí o un no comprobable. La diferencia entre un agente en el que confías y uno que da miedo soltar suele estar justo ahí: en si sus permisos son lógica determinista o una corazonada del modelo.

Y el último hilo se queda en casa, en el capítulo 4 de este mismo facsímil, el del motor de inferencia. Lo que aquí hemos descrito como reglas y como una regla de resolución que se aplica en bucle, allí se convierte en la máquina que de verdad las ejecuta: un motor que toma hechos y reglas y va derivando conclusiones, encadenando hacia delante o hacia atrás como hace Prolog. Este capítulo te da el vocabulario (cláusula, resolvente, unificación, cláusula vacía); el capítulo 4 te enseña el motor que los pone a girar. Conviene leerlos seguidos, porque uno es la gramática y el otro, la conversación.

graph TD
    subgraph "Capítulo 1: Lógica para máquinas"
        PROP["Proposicional<br/>V / F, conectivas"]
        CNF["CNF<br/>cláusulas"]
        RES["Resolución<br/>+ refutación"]
        FOL["Primer orden<br/>cuantificadores, unificación"]
        HORN["Horn<br/>reglas"]
    end
    subgraph "Lo que sostiene"
        SAT["SAT y CSP<br/>(F2 · cap. 5)"]
        GUARD["Guardrails<br/>validadores (F2 · cap. 8)"]
        OWL["OWL y descripción<br/>(F2 · cap. 12)"]
        PROLOG["Prolog · sistemas<br/>expertos (cap. 4)"]
        AG["Agentes<br/>(Facsímil 5)"]
    end

    PROP -->|"formato"| CNF
    CNF -->|"regla única"| RES
    PROP -->|"amplía a objetos"| FOL
    FOL -->|"restringe"| HORN
    CNF -->|"es"| SAT
    RES -->|"base de"| GUARD
    FOL -->|"idioma de"| OWL
    HORN -->|"ejecuta"| PROLOG
    GUARD -->|"protege"| AG

    style SAT stroke-dasharray: 5 5
    style GUARD stroke-dasharray: 5 5
    style OWL stroke-dasharray: 5 5
    style PROLOG stroke-dasharray: 5 5
    style AG stroke-dasharray: 5 5
    style PROP fill:#F5F5F5,stroke:#000000,stroke-width:2

Vocabulario aprendido

Término	Definición
Lógica proposicional	Lógica de enunciados que son verdaderos o falsos, combinados con conectivas.
Conectiva lógica	Operador que combina enunciados: negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional.
Tabla de verdad	Tabla que da el valor de una fórmula para cada combinación de valores de sus variables.
Validez	Una fórmula es válida si es verdadera en toda interpretación (tautología).
Satisfacibilidad	Una fórmula es satisfacible si existe al menos una interpretación que la hace verdadera.
Forma normal conjuntiva	Conjunción de cláusulas, donde cada cláusula es una disyunción de literales.
Modus ponens	Regla de inferencia: de $A$ y $A \rightarrow B$ se deriva $B$.
Resolución	Regla que, de dos cláusulas con un literal complementario, deriva una nueva cláusula.
Refutación	Probar que algo se deduce demostrando que su negación lleva a contradicción (cláusula vacía).
Lógica de primer orden	Lógica con predicados, funciones, variables y cuantificadores sobre objetos.
Cuantificador	Símbolo que expresa «para todo» ($\forall$) o «existe» ($\exists$).
Unificación	Proceso de encontrar una sustitución que iguala dos expresiones lógicas.
Cláusula de Horn	Cláusula con como mucho un literal positivo; base de Prolog y la programación lógica.
Completitud	Una regla de inferencia es completa si puede derivar toda consecuencia lógica verdadera.

Antes de pasar página

• ¿Sé construir la tabla de verdad de una fórmula con dos o tres variables y clasificarla? (Si no, vuelve a «Tablas de verdad, tautologías y la diferencia entre validez y satisfacibilidad».)
• ¿Distingo validez de satisfacibilidad y entiendo el puente entre ambas por la negación? (Si no, vuelve a la misma sección.)
• ¿Puedo pasar una implicación a CNF en tres pasos? (Si no, vuelve a «Forma normal conjuntiva».)
• ¿Sé aplicar la regla de resolución y explicar qué es la cláusula vacía? (Si no, vuelve a «La regla de resolución».)
• ¿Entiendo cómo una refutación demuestra una conclusión llegando a la cláusula vacía? (Si no, vuelve a «Demostrar por refutación».)
• ¿Veo por qué FOL expresa «todos» y «existe» y la proposicional no? (Si no, vuelve a «Lógica de primer orden».)
• ¿Puedo unificar dos literales y dar el unificador más general? (Si no, vuelve a «Unificación: el motor del primer orden».)
• ¿Reconozco una cláusula de Horn como una regla y su relación con Prolog? (Si no, vuelve a «Cláusulas de Horn y la conexión con Prolog».)

En resumen

Idea fuerza	Detalle
La lógica razona por la forma, no por el contenido.	Por eso una conclusión válida es mecanizable: una máquina la comprueba sin entender el tema.
Validez e insatisfacibilidad son dos caras.	Demostrar que algo es siempre verdadero equivale a demostrar que su negación es imposible.
La resolución es una sola regla, correcta y completa.	Aplicada por refutación hasta la cláusula vacía, demuestra cualquier consecuencia lógica.
El primer orden añade objetos y cuantificadores.	Con unificación, una regla general se aplica a infinitos casos; es el idioma de OWL y Prolog.
Toda esta lógica sostiene la IA verificable del facsímil.	SAT, guardrails, ontologías y sistemas expertos descansan en proposicional, resolución y Horn.

Para saber más

Cook, S. A. (1971). The complexity of theorem-proving procedures. En Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing (pp. 151-158). ACM. https://doi.org/10.1145/800157.805047

Davis, M., Logemann, G. y Loveland, D. (1962). A machine program for theorem-proving. Communications of the ACM, 5(7), 394-397. https://doi.org/10.1145/368273.368557

Genesereth, M. R. y Nilsson, N. J. (1987). Logical foundations of artificial intelligence. Morgan Kaufmann.

Huth, M. y Ryan, M. (2004). Logic in computer science: modelling and reasoning about systems (2.ª ed.). Cambridge University Press.

Kowalski, R. (1979). Logic for problem solving. North-Holland.

Lloyd, J. W. (1987). Foundations of logic programming (2.ª ed.). Springer-Verlag.

Robinson, J. A. (1965). A machine-oriented logic based on the resolution principle. Journal of the ACM, 12(1), 23-41. https://doi.org/10.1145/321250.321253

Russell, S. y Norvig, P. (2021). Artificial intelligence: a modern approach (4.ª ed.). Pearson.

Notas

1. Huth, M. y Ryan, M. (2004). Logic in computer science: modelling and reasoning about systems (2.ª ed.). Cambridge University Press. El capítulo inicial introduce con rigor la sintaxis y la semántica de la lógica proposicional, y es una de las exposiciones más limpias para informáticos. ↩

2. Cook, S. A. (1971). The complexity of theorem-proving procedures. En Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing (pp. 151-158). ACM. https://doi.org/10.1145/800157.805047 El resultado de Cook es el que conecta la lógica proposicional con la teoría de la complejidad y justifica por qué la fuerza bruta de la tabla de verdad no escala. ↩

3. Robinson, J. A. (1965). A machine-oriented logic based on the resolution principle. Journal of the ACM, 12(1), 23-41. https://doi.org/10.1145/321250.321253 Este artículo es el origen de la resolución; el propio título («una lógica orientada a máquinas») deja claro que el objetivo era la demostración automática, no la elegancia para el lector humano. ↩

4. Genesereth, M. R. y Nilsson, N. J. (1987). Logical foundations of artificial intelligence. Morgan Kaufmann. Su tratamiento de la resolución como procedimiento de refutación es el estándar en los textos de IA simbólica y conecta la regla con la representación del conocimiento. ↩

5. Davis, M., Logemann, G. y Loveland, D. (1962). A machine program for theorem-proving. Communications of the ACM, 5(7), 394-397. https://doi.org/10.1145/368273.368557 El procedimiento DPLL, base de los solvers SAT modernos, comparte con la resolución la idea de razonar sobre cláusulas en CNF para decidir la insatisfacibilidad. ↩

6. Genesereth, M. R. y Nilsson, N. J. (1987). Logical foundations of artificial intelligence. Morgan Kaufmann. El libro desarrolla la lógica de primer orden precisamente como lenguaje de representación del conocimiento para la inteligencia artificial. ↩

7. Kowalski, R. (1979). Logic for problem solving. North-Holland. Kowalski formuló la idea de que la lógica de Horn puede leerse a la vez como especificación declarativa y como programa ejecutable, el principio que dio nacimiento a la programación lógica. ↩

8. Lloyd, J. W. (1987). Foundations of logic programming (2.ª ed.). Springer-Verlag. Es el tratado de referencia sobre la semántica de los programas lógicos y la corrección de la resolución SLD sobre cláusulas de Horn. ↩

9. Russell, S. y Norvig, P. (2021). Artificial intelligence: a modern approach (4.ª ed.). Pearson. Los capítulos dedicados a la lógica proposicional, de primer orden y a la inferencia tratan la decidibilidad, la resolución y el frame problem como temas centrales de la representación del conocimiento. ↩

Capítulo 02: Razonamiento bajo incertidumbre: Bayes y redes bayesianas

Entrando en el tema

En el capítulo anterior, una máquina razonaba con verdades y falsedades. Una proposición era verdadera o falsa; una regla se disparaba o no se disparaba; una contradicción cerraba el caso. Esa disciplina es preciosa cuando el mundo se deja describir con afirmaciones tajantes. El problema es que casi nunca lo hace.

Piensa en una frase tan corriente como “la prueba ha dado positiva”. La lógica del capítulo 1 quiere convertirla en “el paciente está enfermo: verdadero”. Pero esa traducción es falsa, y de una forma peligrosa. Un positivo no implica enfermedad: la sugiere, la hace más probable, mueve la creencia en una dirección. Cuánto la mueve depende de cosas que la lógica binaria no sabe representar: cómo de frecuente es la enfermedad, cómo de fiable es la prueba, cuántas falsas alarmas produce. Si fuerzas el mundo a entrar en verdadero/falso, pierdes justo la información que necesitas para decidir bien.

Este capítulo cambia la herramienta. En lugar de tratar cada hecho como verdadero o falso, le asignamos un número entre 0 y 1 que mide nuestro grado de creencia: 0 es “imposible”, 1 es “seguro”, y todo lo interesante vive en medio. Esa idea, la probabilidad entendida como creencia razonada y no solo como frecuencia de un experimento, es la que permite a una máquina razonar cuando los hechos son inciertos.¹ La lógica no se tira a la basura: se generaliza. La verdad y la falsedad pasan a ser los dos extremos de una escala continua.

Y no es un parche improvisado. La probabilidad tiene reglas tan estrictas como la lógica, y con dos herramientas (el teorema de Bayes para actualizar creencias y las redes bayesianas para organizarlas) se convierte en una maquinaria de razonamiento completa. Es la misma maquinaria que, por debajo, sostiene buena parte del aprendizaje automático del Facsímil 1 y la calibración de modelos del Facsímil 7. Empecemos por las reglas.

El grado de creencia tiene reglas

Si vamos a representar la incertidumbre con números, esos números no pueden ser arbitrarios. La teoría de la probabilidad descansa sobre tres axiomas, propuestos por Kolmogórov, que cualquier asignación de creencias coherente debe cumplir. Son pocos y sencillos:

Axioma	Enunciado	Lectura cotidiana
No negatividad	$P(A) \ge 0$	Ninguna creencia puede ser “menos que imposible”.
Normalización	$P(\Omega) = 1$	Algo del conjunto de resultados posibles ocurre con certeza.
Aditividad	Si $A$ y $B$ son incompatibles, $P(A \lor B) = P(A) + P(B)$	Las probabilidades de sucesos que no pueden coincidir se suman.

De ahí sale todo lo demás. Por ejemplo, como un suceso $A$ y su negación $\neg A$ son incompatibles y juntos cubren todo lo posible, se deduce $P(A) + P(\neg A) = 1$. Esa pequeña igualdad ya es más de lo que la lógica binaria te daba: te dice que creer al 70 % en algo es exactamente creer al 30 % en lo contrario.

La pieza que de verdad enciende el razonamiento es la probabilidad condicional. Mide cuánto crees en $A$ una vez que sabes que $B$ ha ocurrido:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \land B)}{P(B)}, \qquad P(B) > 0$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$P(A \mid B)$	Creencia en $A$ sabiendo $B$.	Probabilidad de estar enfermo dado un positivo.
$P(A \land B)$	Probabilidad de que ocurran ambos.	Estar enfermo y dar positivo a la vez.
$P(B)$	Probabilidad de la condición observada.	Probabilidad de dar positivo, sin más datos.

En palabras: la probabilidad de $A$ sabiendo $B$ es la fracción de los casos en que ocurre $B$ que, además, cumplen $A$. Es lo mismo que preguntar «de la gente que ha dado positivo, ¿qué parte está enferma?».

La fórmula dice algo muy intuitivo: condicionar es reducir el universo. Antes mirabas todos los casos posibles; al saber que $B$ ocurre, te quedas solo con la franja en la que $B$ es cierto y vuelves a medir dentro de ella qué proporción cumple también $A$. Dividir por $P(B)$ es justamente reescalar esa franja para que vuelva a sumar 1.

Reordenando la definición aparece la regla del producto, que descompone la probabilidad conjunta en pasos encadenados:

$$P(A \land B) = P(A \mid B)\,P(B) = P(B \mid A)\,P(A)$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$P(A \land B)$	Probabilidad de que ocurran ambos sucesos.	Que llueva y que hayas cogido el paraguas.
$P(A \mid B)\,P(B)$	Descomposición fijando $B$ primero.	Probabilidad de paraguas si llueve, por la de que llueva.
$P(B \mid A)\,P(A)$	La misma cantidad fijando $A$ primero.	Probabilidad de lluvia si hay paraguas, por la de paraguas.

En palabras: la probabilidad de que dos cosas pasen a la vez es la de una de ellas multiplicada por la de la otra una vez supuesta la primera; y da igual cuál tomes como punto de partida, el resultado es el mismo.

Y de la regla del producto, aplicada a muchas variables, sale la regla de la cadena, que escribiremos en un momento porque es la columna vertebral de las redes bayesianas:

$$P(X_1, X_2, \dots, X_n) = \prod_{i=1}^{n} P\!\left(X_i \mid X_1, \dots, X_{i-1}\right)$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$X_1, \dots, X_n$	Las variables, en un orden cualquiera que fijas tú.	Las palabras de una frase, de izquierda a derecha.
$\prod_{i=1}^{n}$	Producto de los $n$ factores.	Multiplicar los términos uno tras otro.
$P(X_i \mid X_1, \dots, X_{i-1})$	Probabilidad de cada variable dadas todas las anteriores.	La de cada palabra dado lo ya escrito.

En palabras: la probabilidad conjunta de muchas variables se monta en cadena: eliges un orden y vas multiplicando la probabilidad de cada una condicionada a todas las que ya han salido.

Falta una operación más, la marginalización, que hace lo contrario de condicionar: en lugar de fijar una variable, la elimina sumando sobre todos sus valores. Si conoces la conjunta de $A$ y $B$ pero solo te interesa $A$, barres $B$:

$$P(A) = \sum_{b} P(A \land B{=}b) = \sum_{b} P(A \mid B{=}b)\,P(B{=}b)$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$P(A)$	Probabilidad de $A$ sola, sin condicionar a nada.	Probabilidad de dar positivo, mires a quien mires.
$\sum_{b}$	Suma sobre todos los valores posibles de $B$.	Sumar el caso «enfermo» y el caso «sano».
$P(A \mid B{=}b)\,P(B{=}b)$	Lo que aporta cada valor de $B$ a $A$.	Positivos de los enfermos más positivos de los sanos.

En palabras: para quitarte de encima una variable que no te interesa, recorres todos sus valores posibles y sumas la probabilidad de $A$ en cada caso, pesando cada uno por lo probable que era ese valor.

Esta suma se llama también regla de la probabilidad total, y es la que usaremos enseguida para calcular la probabilidad de “dar positivo” sumando las dos formas de llegar a un positivo: estando enfermo y no estándolo. Con condicional, producto y marginalización ya tenemos toda el álgebra que necesita el teorema de Bayes.

El teorema de Bayes: dar la vuelta a la pregunta

A menudo sabemos calcular una dirección de la probabilidad condicional, pero nos interesa la contraria. Un médico sabe, por estudios clínicos, con qué frecuencia una persona enferma da positivo en una prueba: eso es $P(\text{positivo} \mid \text{enfermo})$. Pero el paciente que tiene el positivo en la mano no quiere saber eso. Quiere saber $P(\text{enfermo} \mid \text{positivo})$: la pregunta al revés. El teorema de Bayes es exactamente el puente entre ambas direcciones.²

Se deduce en una línea igualando las dos formas de la regla del producto, $P(H \land E) = P(E \mid H)P(H) = P(H \mid E)P(E)$, y despejando:

$$P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H)\,P(H)}{P(E)}$$

Cada pieza tiene un nombre y un papel, y conviene memorizarlos porque organizan toda la forma de pensar:

Pieza	Nombre	Qué representa
$P(H)$	Probabilidad previa	Lo que creías sobre la hipótesis $H$ antes de ver nada.
$P(E \mid H)$	Verosimilitud	Cómo de esperable es la evidencia $E$ si $H$ fuese cierta.
$P(E)$	Evidencia	Cómo de esperable es $E$ en total, sea cual sea la causa.
$P(H \mid E)$	Probabilidad posterior	Lo que crees sobre $H$ después de incorporar $E$.

En palabras: tu nueva creencia en la hipótesis es la que ya tenías, multiplicada por cuánto encaja la evidencia con ella y rebajada por cuánto era de esperar esa evidencia en cualquier caso. Si la evidencia era esperable hasta sin la hipótesis, mueve poco; si solo la hipótesis la explicaba, mueve mucho.

El término del denominador, la evidencia, casi nunca se da directamente: se calcula marginalizando sobre las hipótesis posibles. Si $H$ y $\neg H$ agotan los casos:

$$P(E) = P(E \mid H)\,P(H) + P(E \mid \neg H)\,P(\neg H)$$

En palabras: la probabilidad total de ver la evidencia es la suma de las dos formas de llegar a ella: que la hipótesis sea cierta y produzca la evidencia, o que sea falsa y aun así la evidencia aparezca (la falsa alarma).

Leído despacio, el teorema cuenta una historia: partes de una creencia (previa), la multiplicas por cuánto encaja la evidencia con esa creencia (verosimilitud) y la divides por cuánto era de esperar la evidencia en general (evidencia) para obtener tu creencia actualizada (posterior). La probabilidad posterior de hoy es la previa de mañana: cada nuevo dato vuelve a entrar en la misma maquinaria. Esa es la esencia del razonamiento bajo incertidumbre.

El ejemplo que casi todo el mundo falla

Vamos con el caso clásico, porque su resultado es tan contraintuitivo que conviene calcularlo a mano y no fiarse del instinto. Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Existe una prueba con estas características:

• Si una persona está enferma, la prueba da positivo el 99 % de las veces (sensibilidad alta).
• Si una persona está sana, la prueba da positivo igualmente el 5 % de las veces (falsos positivos).

Una persona se hace la prueba y da positivo. Pregunta directa: ¿qué probabilidad tiene de estar realmente enferma? El instinto de casi todo el mundo, incluidos muchos médicos, dispara una cifra alta, en torno al 95 %, confundiendo la fiabilidad de la prueba con la probabilidad de enfermedad. Hagamos las cuentas de verdad.

Primero, traduzcamos los datos al lenguaje de Bayes. Sea $H$ = “estar enfermo” y $E$ = “dar positivo”:

Dato del enunciado	Notación	Valor
Prevalencia (previa)	$P(H)$	$0{,}01$
Sano (probabilidad previa complementaria)	$P(\neg H)$	$0{,}99$
Sensibilidad (verosimilitud)	$P(E \mid H)$	$0{,}99$
Falsos positivos	$P(E \mid \neg H)$	$0{,}05$

Calculamos la evidencia, es decir, la probabilidad total de dar positivo, sumando las dos maneras de obtener un positivo:

$$P(E) = P(E \mid H)\,P(H) + P(E \mid \neg H)\,P(\neg H)$$ $$P(E) = (0{,}99)(0{,}01) + (0{,}05)(0{,}99) = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594$$

Ahora aplicamos Bayes:

$$P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H)\,P(H)}{P(E)} = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} = 0{,}1667$$

El resultado es 16,67 %, no el 95 % que sugería el instinto. Una persona con un positivo en esta prueba tiene, todavía, una probabilidad de cinco sextos de estar sana. ¿Por qué? Porque la enfermedad es tan rara que los falsos positivos, ese 5 % aplicado al enorme 99 % de personas sanas, generan muchísimos más positivos que los verdaderos enfermos. Mira las cifras crudas sobre 10 000 personas:

Grupo	Personas	Dan positivo	Cómo se obtiene
Enfermas	100	99	$10\,000 \times 0{,}01 \times 0{,}99$
Sanas	9 900	495	$10\,000 \times 0{,}99 \times 0{,}05$
Total positivos		594	99 verdaderos + 495 falsos

De los 594 positivos, solo 99 son personas realmente enfermas: $99 / 594 = 0{,}1667$, el mismo 16,67 %. Esa es la lección de la tasa base: ignorar lo rara que es una hipótesis previa lleva a sobreinterpretar la evidencia. Es el mismo error que cometería un detector de fraude que confunde su precision con la probabilidad real de fraude, el problema de clases desbalanceadas que vimos en el Facsímil 1, capítulo 11. La probabilidad previa no es un adorno: es la mitad del cálculo.

El dibujo deja a la vista por qué el instinto se equivoca: el grupo de sanos es tan grande que su pequeño 5 % de falsos positivos arroja muchísimas más alarmas que el 99 % de aciertos sobre el minúsculo grupo de enfermos.

Lo más revelador es que el mismo positivo significa cosas distintas según la prevalencia. La prueba no cambia (sigue acertando el 99 % en enfermos y fallando el 5 % en sanos), pero su veredicto se reinterpreta según lo frecuente que sea la enfermedad en la población a la que se aplica. Si barremos la prevalencia de 0 a 50 % y recalculamos Bayes en cada punto, sale esta curva:

La curva sube deprisa al principio y luego se aplana: con la enfermedad rara (1 %) el positivo apenas alcanza el 16,7 %, no cruza el umbral del 50 % hasta una prevalencia cercana al 5 % y solo se acerca a la certeza cuando la enfermedad es muy común. Por eso una misma prueba sirve para confirmar en una población de riesgo y produce sobre todo falsas alarmas en un cribado masivo: el instrumento es el mismo, pero la tasa base lo recoloca. Es exactamente lo que un médico hace al decidir a quién conviene hacerle la prueba.

Naive Bayes: clasificar con una hipótesis “ingenua”

El teorema de Bayes con una sola evidencia ya es útil. Pero los problemas reales tienen muchas evidencias a la vez. Un correo no trae un solo indicio de spam: trae decenas de palabras, cada una un pequeño dato. Un ticket de soporte trae un texto entero. ¿Cómo aplicamos Bayes cuando la evidencia es un vector $E = (w_1, w_2, \dots, w_n)$ de muchos rasgos?

El teorema sigue valiendo, con la clase $c$ como hipótesis:

$$P(c \mid w_1, \dots, w_n) = \frac{P(w_1, \dots, w_n \mid c)\,P(c)}{P(w_1, \dots, w_n)}$$

El problema está en la verosimilitud conjunta $P(w_1, \dots, w_n \mid c)$. Estimarla bien exigiría conocer cómo se combinan todas las palabras entre sí dentro de cada clase, una tabla astronómica que jamás tendríamos datos para llenar. Aquí entra la hipótesis ingenua (de ahí el nombre): suponer que, dada la clase, los rasgos son condicionalmente independientes entre sí. Es decir, que conocer la clase “spam” hace que la presencia de “gratis” no aporte información extra sobre la presencia de “premio”. Con esa suposición, la verosimilitud conjunta se descompone en un producto:

$$P(w_1, \dots, w_n \mid c) \approx \prod_{i=1}^{n} P(w_i \mid c)$$

En palabras: si suponemos que, una vez fijada la clase, las palabras no se influyen entre sí, la probabilidad de verlas todas juntas se vuelve el simple producto de la probabilidad de cada una por separado. Eso convierte una tabla imposible de llenar en una multiplicación de números que sí sabemos contar.

Y el clasificador elige la clase con mayor probabilidad posterior. Como el denominador $P(w_1, \dots, w_n)$ es el mismo para todas las clases, se puede ignorar para decidir, y basta comparar el numerador:

$$\hat{c} = \arg\max_{c}\; P(c)\prod_{i=1}^{n} P(w_i \mid c)$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$\hat{c}$	Clase elegida por el clasificador.	spam o legítimo.
$P(c)$	Probabilidad previa de cada clase.	Fracción de correos que son spam.
$P(w_i \mid c)$	Verosimilitud de cada palabra en la clase.	Frecuencia de “gratis” entre los spam.
$\arg\max_c$	La clase que maximiza el producto.	La hipótesis más creíble dadas las palabras.

En palabras: el clasificador prueba cada clase posible, multiplica lo frecuente que es esa clase por lo bien que sus palabras típicas explican el mensaje, y se queda con la clase que da el número mayor. No necesita la probabilidad exacta, solo saber cuál gana.

Un clasificador de spam, calculado a mano

Veámoslo con un corpus diminuto para que se vean todos los números. Tenemos seis mensajes de entrenamiento, tres spam y tres legítimos:

Clase	Mensajes de entrenamiento
spam	“gana dinero gratis” · “dinero gratis ya” · “gratis premio dinero”
legítimo	“reunión proyecto mañana” · “envío informe proyecto” · “reunión informe mañana”

El vocabulario completo tiene 10 palabras distintas: gana, dinero, gratis, ya, premio, reunión, proyecto, mañana, envío, informe. Cada clase aporta 9 palabras contadas con repetición. Los recuentos en la clase spam son: dinero 3, gratis 3, gana 1, ya 1, premio 1. Como las clases tienen el mismo número de mensajes, las probabilidades previas son $P(\text{spam}) = P(\text{legítimo}) = 0{,}5$.

Para estimar $P(w \mid c)$ usamos el modelo multinomial con suavizado de Laplace: sumamos 1 a cada recuento para que ninguna palabra tenga probabilidad cero (si no, una sola palabra nunca vista en una clase anularía todo el producto). La fórmula es:

$$P(w \mid c) = \frac{\text{recuento}(w, c) + 1}{N_c + |V|}$$

donde $N_c = 9$ es el total de palabras de la clase y $|V| = 10$ el tamaño del vocabulario, así que el denominador es $9 + 10 = 19$.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$\text{recuento}(w, c)$	Veces que la palabra $w$ aparece en la clase $c$.	«gratis» sale 3 veces en spam.
$N_c$	Total de palabras de la clase $c$.	9 en cada clase del ejemplo.
$	V	$

En palabras: en lugar de dividir recuento entre total, sumamos un 1 a cada palabra antes de dividir. Así ninguna palabra recibe probabilidad cero, y una sola palabra nunca vista en una clase no puede tumbar todo el producto a cero. El precio es repartir un poquito de probabilidad a lo que aún no hemos visto.

Clasifiquemos el mensaje nuevo “dinero gratis reunión”. Necesitamos seis verosimilitudes:

Palabra	En spam	$P(w\mid\text{spam})$	En legítimo	$P(w\mid\text{legítimo})$
dinero	3	$(3{+}1)/19 = 4/19$	0	$(0{+}1)/19 = 1/19$
gratis	3	$4/19$	0	$1/19$
reunión	0	$(0{+}1)/19 = 1/19$	2	$(2{+}1)/19 = 3/19$

Multiplicamos cada probabilidad previa por sus tres verosimilitudes:

$$P(\text{spam})\!\prod P(w\mid\text{spam}) = 0{,}5 \cdot \frac{4}{19}\cdot\frac{4}{19}\cdot\frac{1}{19} = 0{,}5 \cdot \frac{16}{6859} = \frac{8}{6859}$$ $$P(\text{legítimo})\!\prod P(w\mid\text{legítimo}) = 0{,}5 \cdot \frac{1}{19}\cdot\frac{1}{19}\cdot\frac{3}{19} = 0{,}5 \cdot \frac{3}{6859} = \frac{1{,}5}{6859}$$

Para convertir estos dos números en probabilidades que sumen 1, normalizamos dividiendo por su suma, $9{,}5/6859$:

$$P(\text{spam}\mid\text{mensaje}) = \frac{8}{9{,}5} = 0{,}842, \qquad P(\text{legítimo}\mid\text{mensaje}) = \frac{1{,}5}{9{,}5} = 0{,}158$$

El clasificador marca el mensaje como spam con un 84,2 % de probabilidad. Tiene sentido: dos de sus tres palabras son típicas de spam y solo una es neutra.

Por qué funciona pese a ser “ingenuo”

La hipótesis de independencia condicional es, casi siempre, falsa. En un correo de spam, “dinero” y “gratis” aparecen juntas mucho más de lo que predeciría tratarlas como independientes; no son sucesos que se ignoren entre sí. Entonces, ¿por qué Naive Bayes clasifica bien tan a menudo?

La clave es que para decidir una clase no necesitamos que las probabilidades sean exactas, solo que el orden entre clases sea correcto. Naive Bayes estima mal las magnitudes (sus probabilidades posterior suelen ser demasiado extremas, cercanas a 0 o a 1, justo el problema de calibración del Facsímil 7), pero acierta el ganador con frecuencia sorprendente.³ Es rápido, necesita pocos datos, se entrena en una sola pasada contando frecuencias y es difícil de batir como punto de partida (esa baseline del Facsímil 1, capítulo 11, que cualquier modelo más complejo debe superar para justificarse). Por eso sigue vivo en filtros de spam, clasificación de tickets y análisis de sentimiento, décadas después de inventarse.

Redes bayesianas: organizar muchas creencias

Naive Bayes hace una suposición drástica: que todos los rasgos son independientes dada la clase. Es eficaz, pero burdo. El mundo real tiene una estructura de dependencias más rica: unas variables influyen en otras de formas concretas, y muchas son independientes solo en ciertas condiciones. Necesitamos un lenguaje para representar exactamente esa estructura. Ese lenguaje son las redes bayesianas, formalizadas por Judea Pearl.⁴

Una red bayesiana es un grafo dirigido acíclico (un DAG, como los del capítulo de SAT y CSP, pero con otra lectura): cada nodo es una variable aleatoria, y cada flecha de $X$ a $Y$ expresa que $X$ influye directamente en $Y$, que $X$ es un “padre” de $Y$. El que sea acíclico importa: ninguna variable puede ser, dando la vuelta, causa de sí misma.

La idea central es que el grafo codifica una afirmación de independencia muy concreta: cada variable es independiente de sus no-descendientes una vez conocidos sus padres. Dicho de otro modo, los padres de un nodo resumen toda la influencia que el resto de la red ejerce sobre él. Eso permite reescribir la regla de la cadena de forma mucho más barata. La conjunta general necesitaría condicionar cada variable sobre todas las anteriores; con la red, basta condicionar cada variable sobre sus padres:

$$P(X_1, \dots, X_n) = \prod_{i=1}^{n} P\!\left(X_i \mid \text{padres}(X_i)\right)$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$P(X_1, \dots, X_n)$	Probabilidad conjunta de todas las variables.	Que coincidan robo, alarma y las dos llamadas.
$\prod_{i=1}^{n}$	Producto sobre todos los nodos de la red.	Una entrada de CPT por nodo.
$\text{padres}(X_i)$	Las variables con flecha directa hacia $X_i$.	Robo y Terremoto son los padres de Alarma.
$P(X_i \mid \text{padres}(X_i))$	La tabla (CPT) del nodo $X_i$.	Probabilidad de que suene la alarma según robo y terremoto.

En palabras: la probabilidad de un escenario completo es el producto de la probabilidad de cada variable mirando solo a sus padres, sin arrastrar el resto de la red. El grafo es justamente el mapa de qué se puede ignorar al calcular cada factor.

Esta factorización es la razón de ser de las redes bayesianas. La distribución conjunta de $n$ variables booleanas tiene $2^n - 1$ números independientes, una cifra que explota enseguida. La red la sustituye por una tabla pequeña por nodo, la tabla de probabilidad condicional o CPT, que da la probabilidad de la variable para cada combinación de valores de sus padres. Si los padres son pocos, las tablas son pequeñas, y el producto reconstruye la conjunta entera sin necesidad de almacenarla.

El ejemplo canónico: la alarma de Pearl

El ejemplo de referencia, debido a Pearl, es una alarma antirrobo. Vives en una casa con una alarma que puede dispararse por un robo, pero también por un pequeño terremoto. Tienes dos vecinos, Juan y María, que te llaman al móvil si oyen la alarma, aunque no siempre: Juan a veces la confunde con el teléfono y llama sin motivo, y María a veces no la oye porque pone música alta. Cinco variables booleanas, cada una verdadera o falsa:

Variable	Significado	Padres
Robo	Hay un robo en la casa.	(ninguno)
Terremoto	Ha habido un terremoto.	(ninguno)
Alarma	La alarma se dispara.	Robo, Terremoto
JuanLlama	Juan te llama.	Alarma
MaríaLlama	María te llama.	Alarma

La estructura del grafo dice cosas precisas. Robo y Terremoto son causas independientes que confluyen en Alarma. Y, crucialmente, JuanLlama y MaríaLlama no dependen directamente del robo ni del terremoto: dependen solo de la alarma. Si supieras con certeza que la alarma sonó, saber además que hubo un robo no cambiaría tu predicción sobre si Juan llama. Toda la influencia del robo sobre Juan pasa, obligatoriamente, por la alarma. Ese es el contenido de las flechas:

Cada nodo lleva su CPT. Robo y Terremoto, al no tener padres, solo necesitan su probabilidad previa. La alarma necesita una fila por cada combinación de sus dos padres. Las llamadas, una fila por cada valor de la alarma. Estas son las tablas, las mismas del ejemplo original de Pearl:

CPT de Robo y de Terremoto (sin padres):

Variable	$P(\text{verdadero})$
Robo	0,001
Terremoto	0,002

CPT de Alarma, condicionada a sus dos padres:

Robo	Terremoto	$P(\text{Alarma}={=}\text{sí})$
sí	sí	0,95
sí	no	0,94
no	sí	0,29
no	no	0,001

CPT de JuanLlama y MaríaLlama, condicionadas a la alarma:

Alarma	$P(\text{Juan}{=}\text{sí})$	$P(\text{María}{=}\text{sí})$
sí	0,90	0,70
no	0,05	0,01

Con estas cuatro tablas, la red codifica la distribución conjunta completa de las cinco variables. Por ejemplo, la probabilidad de que no haya robo ni terremoto, suene la alarma y llamen los dos vecinos se calcula multiplicando una entrada de cada CPT:

$$P(\neg r, \neg t, a, j, m) = P(\neg r)\,P(\neg t)\,P(a \mid \neg r, \neg t)\,P(j \mid a)\,P(m \mid a)$$ $$= 0{,}999 \cdot 0{,}998 \cdot 0{,}001 \cdot 0{,}90 \cdot 0{,}70 = 0{,}000628$$

En palabras: para saber lo probable que es un escenario concreto, basta tomar de cada tabla la casilla que le corresponde —no robo, no terremoto, alarma sí, Juan sí, María sí— y multiplicarlas todas. Cada factor es una lectura directa de una CPT.

Es un evento poco probable (una falsa alarma que moviliza a los dos vecinos), y la red lo cuantifica sin esfuerzo. Treinta y un números harían falta para la conjunta a pelo; aquí han bastado las diez probabilidades de las CPT.

Cuándo dos variables son independientes: la d-separación

La estructura del grafo no solo factoriza la conjunta: permite leer las independencias de un vistazo, sin tocar un solo número, mediante un criterio gráfico llamado d-separación. La idea es seguir los caminos entre dos variables y ver si la información puede “fluir” por ellos o queda bloqueada. Hay tres patrones de conexión, y se comportan de forma distinta:

Patrón	Forma	Sin observar el nodo central	Observando el nodo central
Cadena	$X \to Z \to Y$	la información fluye	el camino se bloquea
Bifurcación	$X \leftarrow Z \to Y$	la información fluye	el camino se bloquea
Colisión	$X \to Z \leftarrow Y$	el camino está bloqueado	el camino se abre

Las dos primeras son intuitivas: un padre común o un eslabón intermedio transmiten dependencia, y observarlo la corta. En nuestra red, JuanLlama y MaríaLlama están conectadas por la bifurcación $\text{Juan} \leftarrow \text{Alarma} \to \text{María}$. Sin saber nada de la alarma, las dos llamadas están correlacionadas: que Juan llame te hace creer más que la alarma sonó, y eso te hace esperar también la llamada de María. Pero dada la alarma, se vuelven independientes: si ya sabes que la alarma sonó, la llamada de Juan no añade nada sobre la de María. Eso es exactamente la independencia condicional que asumía Naive Bayes, aquí leída en el grafo.

El tercer patrón, la colisión, es el más sutil y el más interesante. Robo y Terremoto chocan en Alarma: $\text{Robo} \to \text{Alarma} \leftarrow \text{Terremoto}$. De partida, sin observar nada, son independientes; los robos no causan terremotos. Pero si observas la alarma (sabes que sonó), Robo y Terremoto pasan a estar correlacionados de forma negativa. Es el fenómeno llamado explaining away, descartar por explicación: si la alarma sonó y te enteras de que ha habido un terremoto, baja tu sospecha de robo, porque el terremoto ya explica la alarma. Una causa, al confirmarse, resta credibilidad a la otra. La lógica binaria no sabría representar esto; la red lo hace de forma natural.

Responder preguntas: inferencia por eliminación de variables

Tener la conjunta factorizada está muy bien, pero lo que queremos es hacer preguntas: dado que Juan y María han llamado, ¿qué probabilidad hay de que haya un robo? Esto es $P(\text{Robo} \mid \text{Juan}{=}\text{sí}, \text{María}{=}\text{sí})$. La consulta tiene una variable de interés (Robo), unas variables de evidencia (las dos llamadas, fijadas a “sí”) y unas variables ocultas que no aparecen ni en una ni en otra (Terremoto y Alarma) y que hay que marginalizar.

El método exacto es la eliminación de variables: usamos Bayes para pasar a la conjunta, sumamos sobre las ocultas y normalizamos. Por Bayes,

$$P(r \mid j, m) = \frac{P(r, j, m)}{P(j, m)} \propto P(r, j, m) = \sum_{t}\sum_{a} P(r)\,P(t)\,P(a \mid r, t)\,P(j \mid a)\,P(m \mid a)$$

Símbolo	Significado	Ejemplo
$r$	La variable que preguntamos (Robo), fijada a un valor.	¿Hubo robo, sí o no?
$j, m$	Las variables de evidencia, ya observadas.	Juan y María han llamado.
$\sum_{t}\sum_{a}$	Suma sobre las variables ocultas.	Recorrer terremoto y alarma, sí y no.
$\propto$	«Proporcional a»: falta dividir por $P(j,m)$.	Normalizar al final para que sume 1.

En palabras: para responder la consulta reconstruimos la conjunta, sumamos sobre las variables que no nos importan (terremoto y alarma) recorriendo todos sus valores, y al final normalizamos para que las dos opciones de robo vuelvan a sumar 1. El símbolo $\propto$ avisa de que, hasta ese último paso, manejamos números sin normalizar.

La clave para que esto sea barato es empujar las sumas hacia dentro: cada variable solo se suma sobre los factores que la contienen, no sobre todo el producto. Empecemos definiendo el factor que combina las dos llamadas en función de la alarma, $f(a) = P(j \mid a)\,P(m \mid a)$:

Alarma	$P(j\mid a)$	$P(m\mid a)$	$f(a)$
sí	0,90	0,70	0,630
no	0,05	0,01	0,0005

Ahora, para cada combinación de Robo y Terremoto, sumamos sobre la alarma el producto $P(a \mid r, t)\,f(a)$. Llamemos a ese resultado $g(r, t)$:

$$g(r, t) = P(a{=}\text{sí}\mid r, t)\cdot 0{,}630 + P(a{=}\text{no}\mid r, t)\cdot 0{,}0005$$

Robo	Terremoto	$P(a{=}\text{sí}\mid r,t)$	$g(r,t)$
sí	sí	0,95	$0{,}95\cdot0{,}630 + 0{,}05\cdot0{,}0005 = 0{,}598525$
sí	no	0,94	$0{,}94\cdot0{,}630 + 0{,}06\cdot0{,}0005 = 0{,}592230$
no	sí	0,29	$0{,}29\cdot0{,}630 + 0{,}71\cdot0{,}0005 = 0{,}183055$
no	no	0,001	$0{,}001\cdot0{,}630 + 0{,}999\cdot0{,}0005 = 0{,}001130$

A continuación sumamos sobre Terremoto, ponderando por su probabilidad previa ($P(t{=}\text{sí}) = 0{,}002$, $P(t{=}\text{no}) = 0{,}998$):

$$\text{Robo sí:}\quad 0{,}002\cdot0{,}598525 + 0{,}998\cdot0{,}592230 = 0{,}592243$$ $$\text{Robo no:}\quad 0{,}002\cdot0{,}183055 + 0{,}998\cdot0{,}001130 = 0{,}001493$$

Finalmente multiplicamos por la probabilidad previa de Robo ($P(r{=}\text{sí}) = 0{,}001$, $P(r{=}\text{no}) = 0{,}999$) para obtener los dos números sin normalizar:

$$P(r{=}\text{sí}, j, m) = 0{,}001 \cdot 0{,}592243 = 0{,}000592$$ $$P(r{=}\text{no}, j, m) = 0{,}999 \cdot 0{,}001493 = 0{,}001492$$

Normalizamos dividiendo por la suma, que es la evidencia $P(j, m) = 0{,}000592 + 0{,}001492 = 0{,}002084$:

$$P(\text{Robo} \mid \text{Juan}, \text{María}) = \frac{0{,}000592}{0{,}002084} = 0{,}284$$

El resultado es 28,4 %. Vuelve a ser una lección sobre la tasa base: aunque las dos llamadas son indicios fuertes de robo, el robo era tan improbable de partida (una entre mil) que, incluso con ambos vecinos llamando, lo más probable sigue siendo que no haya robo. La evidencia ha multiplicado tu creencia por más de 280 (de 0,001 a 0,284), pero partía de tan abajo que no llega ni a la mitad. La red ha hecho automáticamente lo que a mano nos costaría: combinar muchas creencias coherentemente.

Cuando lo exacto no basta: inferencia aproximada

La eliminación de variables es exacta, pero su coste crece con la estructura de la red. En grafos grandes y densamente conectados, las sumas intermedias se vuelven intratables: el problema de inferencia exacta es, en general, NP-difícil, el mismo muro de complejidad que vimos con SAT.⁵ Cuando eso ocurre, se renuncia a la respuesta exacta y se estima mediante muestreo: en lugar de sumar sobre todas las combinaciones, se simulan miles de mundos posibles según las CPT y se cuenta en qué fracción ocurre lo que preguntamos.

La forma más simple es el muestreo directo: recorrer la red de padres a hijos, sorteando cada variable según su CPT dado lo ya sorteado, hasta generar un “mundo” completo. Para responder a una consulta con evidencia se descartan los mundos que no encajan con lo observado (muestreo por rechazo) o se ponderan (muestreo por verosimilitud); técnicas más sofisticadas, como las cadenas de Markov de Montecarlo, exploran el espacio de forma más eficiente. La idea de fondo es la misma que reaparece, a otra escala, en los métodos modernos: cuando no puedes calcular una probabilidad, la aproximas con muchas simulaciones.⁶

En el día a día

Aunque parezcan formalismos de manual, estas ideas están funcionando constantemente a tu alrededor. El filtro de spam de tu correo es, en su versión clásica, un Naive Bayes contando palabras; los filtros modernos son más sofisticados, pero la intuición de “esta palabra hace más probable el spam” sigue ahí. Los sistemas de diagnóstico médico asistido combinan síntomas, pruebas y prevalencias exactamente con la mecánica del ejemplo de la enfermedad rara, y su mayor valor es precisamente recordar la tasa base que el instinto humano olvida.

Las redes bayesianas aparecen en diagnóstico de averías (un coche o una máquina industrial cuyos sensores apuntan a una causa raíz), en evaluación de riesgo crediticio, en sistemas de recomendación y en modelos de fiabilidad de equipos. Y cada vez que una aplicación combina varias señales débiles para tomar una decisión (un antifraude que junta ubicación, importe y hora; un detector que pondera varios indicios), por debajo hay una actualización de creencias que es Bayes, se llame así o no.

Hay además un sitio donde estas ideas viven sin que casi nadie lo mencione: dentro de los modelos de lenguaje. Un LLM es, en su núcleo, un modelo probabilístico que estima $P(\text{siguiente palabra} \mid \text{texto anterior})$. No razona con redes bayesianas explícitas, pero su salida es una distribución de probabilidad sobre el vocabulario, y todo lo que sabemos de probabilidad se aplica a ella.

Por qué debería importarte

Porque la incertidumbre no es un defecto que la IA vaya a eliminar; es la condición normal de cualquier sistema que actúa en el mundo real. La lógica del capítulo anterior te enseña a razonar cuando los hechos son seguros. Bayes te enseña a razonar cuando no lo son, que es casi siempre. Y te da algo que el instinto no tiene: un método para combinar la frecuencia de fondo de algo (la tasa base) con la fuerza de una evidencia concreta, sin sobreinterpretar ninguna de las dos.

Esto conecta directamente con cómo se debe usar un modelo de IA hoy. Cuando un LLM o un clasificador te da una probabilidad, esa cifra solo vale si está bien calibrada: si entre todos los casos en que dice “0,8” aproximadamente el 80 % resultan ciertos. Esa es la pregunta del Facsímil 7, capítulo 5, y es heredera directa de este: una probabilidad es una promesa sobre frecuencias, y Bayes es la gramática que la hace coherente. Entender el grado de creencia como un número con reglas es lo que te permite no tragarte una confianza inflada ni descartar una alerta solo porque “suena improbable”.

Dónde solía tropezar yo

Error	Por qué es un error	Antídoto
Olvidar la tasa base	Confundir $P(E \mid H)$ (cómo de fiable es la prueba) con $P(H \mid E)$ (la probabilidad real de la hipótesis) ignora lo rara que era la hipótesis previa.	Calcula siempre la evidencia $P(E)$ completa. Si la hipótesis es rara, hasta una prueba buena deja una probabilidad posterior baja.
Confundir $P(A\mid B)$ con $P(B\mid A)$	Son cantidades distintas; intercambiarlas es el error que produce el famoso 95 % falso en la prueba médica.	Escribe explícitamente qué condicionas sobre qué antes de poner números. La barra no es simétrica.
Tomar las probabilidades de Naive Bayes al pie de la letra	La hipótesis ingenua infla las cifras hacia 0 y 1; el orden suele ser correcto, pero la magnitud no es fiable.	Usa Naive Bayes para decidir la clase, no como probabilidad calibrada. Si necesitas la cifra, calíbrala.
Dibujar flechas como si fueran causalidad garantizada	En una red bayesiana la flecha codifica dependencia e influencia directa, pero la dirección la eliges tú; mal orientada, la factorización deja de ser económica.	Orienta las flechas de causa a efecto cuando puedas, y comprueba que cada nodo depende de pocos padres.
Creer que observar más siempre acerca dos variables	En una colisión ocurre lo contrario: observar el efecto común correlaciona causas antes independientes (explaining away).	Identifica el patrón (cadena, bifurcación, colisión) antes de afirmar una independencia.

Cómo encaja todo

Este capítulo es la bisagra del facsímil, y conviene verlo así: a un lado queda la certeza, al otro la creencia con grados. Venimos de la lógica del capítulo 1, donde cada hecho era verdadero o falso sin matices, y lo que hemos hecho aquí no ha sido tirarla a la basura, sino estirarla. La verdad y la falsedad se han convertido en los dos extremos, 1 y 0, de una regla continua, y entre medias cabe todo lo que de verdad nos pasa por la cabeza cuando decidimos con información incompleta. Por eso el capítulo siguiente, el 3 de este mismo Facsímil 12, viene a continuación de forma natural: explora qué hacer cuando ni siquiera podemos poner un número limpio a la creencia, cuando la incertidumbre no es probabilística sino imprecisa o vaga, y para eso recurre a los factores de certeza y a la lógica difusa. Si Bayes te exige una probabilidad previa exacta («el robo ocurre una vez entre mil»), el capítulo 3 acepta que muchas veces lo único honesto que puedes decir es «poco probable, pero no sabría cuantificarlo», y construye una herramienta para esa penumbra. Son dos respuestas distintas a la misma pregunta incómoda de cuánto fiarte.

Hacia atrás, el capítulo cierra un círculo muy concreto con el Facsímil 1. El Naive Bayes que aquí hemos calculado a mano es exactamente uno de los clasificadores clásicos del capítulo 11 de aquel facsímil, y no es casualidad que reaparezca: allí lo presentamos como la baseline, la línea de salida que cualquier modelo más complejo tiene que superar para justificar su coste. La razón de que sea tan buena referencia es justo lo que hemos visto: se entrena contando frecuencias en una sola pasada y casi nunca falla el orden de las clases. Y la lección de la tasa base reaparece allí con otro nombre, el de las clases desbalanceadas. Un detector de fraude que ve un caso de cada diez mil cae en el mismo espejismo que el positivo de la enfermedad rara: confundir lo fiable que es la señal con lo probable que es el suceso. La matriz de confusión y el coste de los errores de aquel capítulo son, vistos desde aquí, maneras prácticas de no dejarse engañar por una probabilidad previa minúscula.

Hacia delante, el hilo más directo lleva al Facsímil 7, capítulo 5, sobre calibración e incertidumbre. Cuando un modelo —el Naive Bayes de aquí o un sistema mucho mayor— te dice «0,8», esa cifra es una promesa: que de cada cien veces que diga 0,8, alrededor de ochenta deberían acertar. Calibrar es comprobar si la promesa se cumple, y es la versión moderna de la pregunta que recorre todo este capítulo, «¿cuánto debería fiarme de esto?», pero formulada ya no para un cálculo a mano sino para un modelo que escupe miles de probabilidades al día. De hecho aquí ya avisamos del problema: Naive Bayes acierta el ganador pero miente en la magnitud, porque sus probabilidades se pegan a 0 y a 1. Esa patología tiene nombre y remedio, y son precisamente los del Facsímil 7. Es la diferencia entre un sistema que dice «99 % seguro» y se equivoca una de cada tres veces, y otro cuyo «80 %» puedes tomarte al pie de la letra.

Conecta también con lo que hoy llamamos IA moderna por una idea más sencilla de lo que parece. Un modelo de lenguaje, de los del Facsímil 3, no es en su núcleo más que una máquina probabilística: ante un texto, estima la probabilidad de cada posible palabra siguiente y elige según esa distribución. Cuando escribes «el cielo está» y el modelo continúa con «despejado», por dentro ha hecho lo mismo que nosotros con el spam: comparar verosimilitudes y quedarse con la más creíble dado el contexto. Toda la gramática de este capítulo —probabilidad condicional, marginalización, probabilidad posterior— se aplica a esa salida. Por eso entender Bayes no es un capricho de matemático: es lo que te permite leer con sentido crítico lo que afirma un chatbot, sabiendo que detrás hay una distribución de probabilidad, no una verdad revelada.

Y hay una conexión fácil de pasar por alto que el Facsímil 8 desarrolla: de dónde salen las probabilidades previas. Aquí te las hemos dado hechas —la enfermedad afecta al 1 %, el robo ocurre una vez entre mil—, pero en la práctica esos números se estiman a partir de datos, y los datos arrastran sus propios sesgos. Si tu muestra sobrerrepresenta a un grupo, la probabilidad previa que aprendes queda torcida, y como Bayes la multiplica por la verosimilitud, ese sesgo se propaga sin resistencia hasta la probabilidad posterior. Un sistema de diagnóstico entrenado sobre una población distinta de la tuya parte de una tasa base equivocada y se equivoca con precisión matemática. Por eso el Facsímil 8, sobre datos y sesgos, es el complemento incómodo de este: Bayes es escrupulosamente honesto con las creencias que le metes, pero no las pone en duda; esa vigilancia te toca a ti.

Visto en conjunto, este capítulo no es una parada aislada sino un cruce de caminos: recoge el aprendizaje automático clásico que vino antes, presta su gramática a la calibración y a los modelos de lenguaje que vienen después, y deja una puerta abierta hacia las incertidumbres que ni siquiera se dejan escribir como una probabilidad. El diagrama lo resume:

graph TD
    subgraph "Viene de antes"
        LOGICA["Lógica binaria<br/>(F12 cap. 1)"]
        MLCLAS["ML clásico y métricas<br/>(F1 cap. 11)"]
    end
    subgraph "Capítulo 2: incertidumbre"
        CREENCIA["Grado de creencia<br/>0 a 1"]
        BAYES["Teorema de Bayes<br/>previa → posterior"]
        NB["Naive Bayes<br/>independencia condicional"]
        RED["Redes bayesianas<br/>DAG + CPT"]
        INFER["Inferencia<br/>exacta y aproximada"]
    end
    subgraph "Se reutiliza después"
        DIFUSA["Certeza y lógica difusa<br/>(F12 cap. 3)"]
        CALIB["Calibración de incertidumbre<br/>(F7 cap. 5)"]
        LLM["LLM como modelo<br/>probabilístico"]
    end

    LOGICA -->|"generaliza a"| CREENCIA
    CREENCIA -->|"se actualiza con"| BAYES
    BAYES -->|"con muchos rasgos"| NB
    BAYES -->|"con estructura"| RED
    RED -->|"se consulta con"| INFER
    MLCLAS -->|"aporta Naive Bayes"| NB
    CREENCIA -->|"otra vía de verdad parcial"| DIFUSA
    NB -->|"plantea"| CALIB
    INFER -->|"misma gramática"| LLM

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Vocabulario aprendido

Término	Definición
Probabilidad condicional	Probabilidad de un suceso dado que otro ha ocurrido, $P(A\mid B)$. Condicionar reduce el universo a los casos donde $B$ es cierto.
Teorema de Bayes	Regla que actualiza la creencia en una hipótesis al observar evidencia, invirtiendo la dirección de la condicional.
Probabilidad previa	Creencia en una hipótesis antes de ver la evidencia; incluye la tasa base.
Verosimilitud	Probabilidad de la evidencia suponiendo cierta la hipótesis, $P(E\mid H)$.
Probabilidad posterior	Creencia en la hipótesis después de incorporar la evidencia; la probabilidad posterior de hoy es la previa de mañana.
Marginalización	Eliminar una variable de una conjunta sumando sobre todos sus valores.
Naive Bayes	Clasificador que aplica Bayes asumiendo independencia condicional entre rasgos dada la clase.
Independencia condicional	Dos variables son independientes una vez conocida una tercera.
Red bayesiana	Grafo dirigido acíclico que factoriza una distribución conjunta mediante CPT.
Tabla de probabilidad condicional (CPT)	Tabla que da la probabilidad de una variable para cada combinación de valores de sus padres.
d-separación	Criterio gráfico para decidir independencias condicionales según los patrones de cadena, bifurcación y colisión.
Eliminación de variables	Algoritmo de inferencia exacta que suma las variables ocultas para responder una consulta.

Antes de pasar página

• ¿Sé explicar por qué la lógica binaria del capítulo 1 no basta cuando los hechos son inciertos? (Si no, vuelve a «Entrando en el tema».)
• ¿Puedo escribir el teorema de Bayes y nombrar sus cuatro piezas? (Si no, vuelve a «El teorema de Bayes: dar la vuelta a la pregunta».)
• ¿Entiendo por qué un positivo en una prueba fiable puede dejar solo un 16,67 % de probabilidad de enfermedad? (Si no, vuelve a «El ejemplo que casi todo el mundo falla».)
• ¿Sé qué supone la hipótesis «ingenua» de Naive Bayes y por qué funciona aun siendo falsa? (Si no, vuelve a «Naive Bayes».)
• ¿Puedo escribir la factorización de la conjunta de una red bayesiana a partir de su grafo? (Si no, vuelve a «Redes bayesianas».)
• ¿Distingo cadena, bifurcación y colisión, y entiendo el explaining away? (Si no, vuelve a «Cuándo dos variables son independientes: la d-separación».)
• ¿He seguido el cálculo de $P(\text{Robo}\mid\text{Juan},\text{María}) = 0{,}284$ por eliminación de variables? (Si no, vuelve a «Responder preguntas».)
• ¿He ejecutado el cuaderno y comprobado que scikit-learn y pgmpy reproducen los números?

En resumen

Idea fuerza	Detalle
La probabilidad es lógica con grados.	El grado de creencia entre 0 y 1 generaliza el verdadero/falso, con reglas tan estrictas como las de la lógica.
Bayes invierte la pregunta.	Convierte “cómo de fiable es la prueba” en “qué probabilidad tengo de estar enfermo”, combinando la previa, la verosimilitud y evidencia.
La tasa base decide.	Ignorar lo rara que es una hipótesis previa es el error que produce el falso 95 %; la probabilidad posterior real era 16,67 %.
Naive Bayes acierta sin ser realista.	La independencia condicional es falsa, pero basta para ordenar bien las clases; por eso sigue siendo una baseline difícil de batir.
Las redes bayesianas organizan muchas creencias.	Un DAG con CPT factoriza la conjunta, hace legibles las independencias y permite inferir consultas exactas o aproximadas.
Es la gramática de lo moderno.	Un LLM estima probabilidades condicionales; calibrar y razonar sobre ellas exige las reglas de este capítulo.

Para saber más

Bayes, T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 53, 370-418. https://doi.org/10.1098/rstl.1763.0053

Duda, R. O., Hart, P. E. y Stork, D. G. (2001). Pattern classification (2.ª ed.). Wiley.

Koller, D. y Friedman, N. (2009). Probabilistic graphical models: principles and techniques. MIT Press.

Nilsson, N. J. (1986). Probabilistic logic. Artificial Intelligence, 28(1), 71-87. https://doi.org/10.1016/0004-3702(86)90031-7

Pearl, J. (1988). Probabilistic reasoning in intelligent systems: networks of plausible inference. Morgan Kaufmann.

Russell, S. y Norvig, P. (2021). Artificial intelligence: a modern approach (4.ª ed.). Pearson.

Notas

1. Nilsson, N. J. (1986). Probabilistic logic. Artificial Intelligence, 28(1), 71-87. https://doi.org/10.1016/0004-3702(86)90031-7. Nilsson propuso una lógica probabilística que extiende la lógica clásica asignando probabilidades a las proposiciones en lugar de valores de verdad rígidos, y muestra que la lógica binaria es el caso límite cuando las probabilidades son 0 o 1. ↩

2. Bayes, T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 53, 370-418. https://doi.org/10.1098/rstl.1763.0053. El ensayo, publicado tras la muerte de Bayes por su amigo Richard Price, plantea por primera vez el problema de inferir la causa probable a partir de los efectos observados, que es la estructura de toda inferencia bayesiana posterior. ↩

3. Duda, R. O., Hart, P. E. y Stork, D. G. (2001). Pattern classification (2.ª ed.). Wiley. El texto analiza el clasificador bayesiano ingenuo y muestra por qué su frontera de decisión puede ser correcta aunque las estimaciones de densidad sean imprecisas, siempre que los errores no alteren cuál es la clase de mayor probabilidad. ↩

4. Pearl, J. (1988). Probabilistic reasoning in intelligent systems: networks of plausible inference. Morgan Kaufmann. Pearl introdujo las redes bayesianas como representación gráfica de la independencia condicional y desarrolló los algoritmos de propagación de creencias que hicieron tratable la inferencia probabilística en sistemas con muchas variables. ↩

5. Russell, S. y Norvig, P. (2021). Artificial intelligence: a modern approach (4.ª ed.). Pearson. Los capítulos sobre razonamiento probabilístico presentan la eliminación de variables y los métodos de Montecarlo, y demuestran que la inferencia exacta en redes bayesianas generales es computacionalmente difícil, lo que motiva los métodos aproximados. ↩

6. Koller, D. y Friedman, N. (2009). Probabilistic graphical models: principles and techniques. MIT Press. El libro es el tratado de referencia sobre modelos gráficos probabilísticos y cubre con detalle tanto la inferencia exacta como la familia de métodos de muestreo y de propagación aproximada para redes de gran tamaño. ↩

Capítulo 03: Cuando la verdad es difusa: factores de certeza y lógica difusa

Entrando en el tema

En el capítulo 1 de este facsímil la verdad era cómoda: una afirmación era verdadera o falsa, y punto. En el capítulo 2 dimos un paso y aceptamos que no siempre sabemos si algo es verdad; ahí la probabilidad nos dejó hablar de grados de creencia. Este capítulo trata un tercer problema, más sutil y muy fácil de confundir con el segundo: a veces el problema no es que no sepamos si algo es verdad, sino que la propia afirmación no tiene una frontera nítida.

«La habitación está calentita.» «El paciente tiene algo de fiebre.» «Es un hombre alto.» Ninguna de estas frases es verdadera o falsa de golpe. ¿A partir de qué temperatura una habitación deja de estar fresquita y empieza a estar calentita? ¿37,4 °C es «algo de fiebre» o todavía no? No hay un umbral mágico, y si lo pusiéramos a la fuerza tendríamos resultados absurdos: 37,49 °C sería «sano» y 37,50 °C sería «con fiebre», como si un cambio de una centésima cambiara el mundo.

Este es el terreno de la lógica difusa, propuesta por Lotfi Zadeh en 1965.¹ Su idea, casi de sentido común, fue radical para la época: dejemos que una afirmación sea verdadera en cierto grado, con un valor entre 0 y 1. No «tiene fiebre: sí o no», sino «tiene fiebre con grado 0,7». Antes de llegar ahí pasaremos por los factores de certeza, una técnica intermedia que los sistemas expertos clásicos usaron para manejar reglas que no eran del todo seguras. Las dos ideas conviven en el mismo territorio: el de un mundo que no se deja partir limpiamente en dos.

Dos cosas distintas que llamamos «incierto»

El error más común, y el que conviene desmontar antes de cualquier fórmula, es meter en el mismo saco dos fenómenos que no son lo mismo.

La incertidumbre es no saber. Lanzo una moneda y, antes de mirarla, no sé si salió cara o cruz. El hecho es perfectamente nítido (es cara o es cruz, sin medias tintas), pero mi conocimiento es incompleto. Eso lo modela la probabilidad, como vimos en el capítulo 2: $P(\text{cara}) = 0{,}5$ describe mi ignorancia, no una propiedad borrosa de la moneda.

La imprecisión o vaguedad es otra cosa. «Juan es alto.» Aquí no me falta información: puedo conocer su estatura al milímetro, 1,82 m, y aun así la frase no es simplemente verdadera o falsa, porque «alto» no tiene una frontera exacta. El problema no está en lo que sé, sino en el propio predicado, que admite grados.

Aspecto	Incertidumbre (probabilidad)	Imprecisión (lógica difusa)
Qué desconozco	Si un hecho nítido ocurre o no.	Nada: el hecho es vago por naturaleza.
Ejemplo	«¿Lloverá mañana?»	«Hoy hace calor.»
Qué mide el número	Grado de creencia en que algo es cierto.	Grado en que algo pertenece a una categoría.
Al observar la realidad	La duda se resuelve: llovió o no llovió.	La vaguedad permanece: 24 °C sigue siendo «calorcito» a medias.
Suma sobre alternativas	Las probabilidades de un suceso suman 1.	Los grados de pertenencia no tienen por qué sumar 1.

Ese último punto de la tabla es el más revelador y conviene grabárselo. Si hoy estamos a 22 °C, la temperatura puede pertenecer a «templado» con grado 0,8 y a «caliente» con grado 0,1 a la vez, y esos números no suman 1 ni tienen por qué. No estoy repartiendo una probabilidad entre categorías excluyentes; estoy diciendo cuánto encaja un mismo valor en cada etiqueta solapada. Russell y Norvig insisten en esta distinción precisamente porque mezclarla lleva a usar la herramienta equivocada: la teoría de conjuntos difusos trata el grado de verdad de proposiciones vagas, no la probabilidad de proposiciones inciertas.²

La lección práctica: si tu pregunta es «¿pasará esto?», probablemente quieres probabilidad. Si tu pregunta es «¿cuánto se cumple esto?», probablemente quieres lógica difusa.

Factores de certeza: el apaño de los sistemas expertos

Antes de Zadeh llegara a las máquinas de control, hubo un problema más terrenal. En los años setenta se construyeron los primeros sistemas expertos: programas que codificaban el conocimiento de un especialista como un montón de reglas SI-ENTONCES. El más famoso fue MYCIN, desarrollado en Stanford para recomendar tratamientos de infecciones bacterianas.³ Y MYCIN se topó de frente con la vaguedad del conocimiento médico real: un médico no dice «si hay fiebre alta, entonces es gripe» como una verdad absoluta. Dice algo más parecido a «si hay fiebre alta, tiendo a pensar que es gripe, pero no estoy seguro del todo».

Los autores de MYCIN no querían meterse en la probabilidad bayesiana completa (faltaban datos para estimar tantas probabilidades, y el capítulo 2 ya nos avisó de lo caras que salen las tablas conjuntas). Inventaron un atajo: el factor de certeza o CF (del inglés certainty factor), un número entre $-1$ y $+1$ que resume cuánto refuerza o debilita una evidencia a una hipótesis.⁴

Valor del CF	Lectura
$CF = +1$	Certeza total de que la hipótesis es cierta.
$CF$ entre 0 y 1	La evidencia apoya la hipótesis, con más fuerza cuanto más cerca de 1.
$CF = 0$	La evidencia no dice nada a favor ni en contra.
$CF$ entre $-1$ y 0	La evidencia va en contra de la hipótesis.
$CF = -1$	Certeza total de que la hipótesis es falsa.

Cada regla lleva su propio CF, que mide cuánto creería el experto en la conclusión si la premisa fuera totalmente cierta:

$$\text{SI } e \text{ ENTONCES } h \quad (CF_{\text{regla}})$$

En palabras: si se observa la evidencia $e$, se apuesta por la hipótesis $h$ con una fuerza $CF_{\text{regla}}$; ese número, que fija el experto, dice cuánto creería en $h$ si $e$ fuese completamente segura.

Pero la premisa no siempre es totalmente cierta. Si solo estamos seguros de la evidencia $e$ con un grado $CF(e)$, la conclusión se atenúa. MYCIN propaga así, dejando pasar solo la parte positiva de la evidencia:

$$CF(h, e) = CF_{\text{regla}} \cdot \max\!\big(0,\, CF(e)\big)$$

En palabras: la certeza que una regla aporta a su hipótesis es la confianza de la regla multiplicada por la certeza de la evidencia, pero solo cuando esa evidencia juega a favor; si la evidencia es dudosa o va en contra, la parte positiva vale cero y la regla no aporta nada.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$e$	La evidencia observada, premisa de la regla.	«el paciente tiene fiebre alta».
$h$	La hipótesis que la regla apoya, su conclusión.	«el paciente tiene gripe».
$CF_{\text{regla}}$	Confianza en la regla si la premisa fuese segura.	$0{,}8$ para «fiebre alta → gripe».
$CF(e)$	Certeza que tenemos sobre la evidencia.	$0{,}5$ si la fiebre solo es probable.
$CF(h,e)$	Certeza que la regla aporta a la hipótesis.	$0{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}4$.

Combinar evidencias: cuando dos reglas opinan a la vez

La parte interesante llega cuando dos reglas distintas apoyan la misma hipótesis. Imagina dos pistas independientes que sugieren gripe: la fiebre y el dolor muscular. Cada una aporta su CF, y necesitamos fundirlos en una sola creencia. MYCIN usa una regla de combinación que depende de los signos:

$$CF(x, y) = \begin{cases} x + y\,(1 - x) & \text{si } x, y \ge 0 \[4pt] x + y\,(1 + x) & \text{si } x, y \le 0 \[4pt] \dfrac{x + y}{1 - \min(|x|, |y|)} & \text{si signos opuestos} \end{cases}$$

En palabras: para fundir dos creencias sobre la misma hipótesis, si las dos empujan en el mismo sentido se suman descontando lo que ya cubría la otra, de modo que nunca pasan de 1 ni bajan de $-1$; si empujan en sentidos opuestos, se restan y se normalizan dividiendo por lo que tienen en común.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$x$	Creencia ya acumulada en la hipótesis.	$0{,}8$ tras la primera regla.
$y$	Creencia que aporta la nueva evidencia.	$0{,}6$ de la segunda regla.
$CF(x,y)$	Creencia combinada de ambas.	$0{,}92$ al unirlas.

Caso	Idea intuitiva
Ambos positivos	Dos pistas a favor refuerzan, pero con rendimientos decrecientes: nunca pasan de 1.
Ambos negativos	Dos pistas en contra refuerzan la negación, sin bajar de $-1$.
Signos opuestos	Una pista a favor y otra en contra se cancelan parcialmente.

Hagamos un ejemplo numérico completo. El paciente tiene fiebre alta (segura, $CF = 1$) y dolor muscular (seguro, $CF = 1$). Hay dos reglas:

• R1: SI fiebre alta ENTONCES gripe, con $CF_{\text{regla}} = 0{,}8$.
• R2: SI dolor muscular ENTONCES gripe, con $CF_{\text{regla}} = 0{,}6$.

Cada regla aporta su CF a la hipótesis «gripe»:

$$CF_1 = 0{,}8 \cdot 1 = 0{,}8, \qquad CF_2 = 0{,}6 \cdot 1 = 0{,}6$$

Como ambos son positivos, los combinamos con la primera rama:

$$CF = 0{,}8 + 0{,}6\,(1 - 0{,}8) = 0{,}8 + 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}8 + 0{,}12 = 0{,}92$$

Dos pistas a favor han subido la creencia de 0,8 a 0,92, pero ojo: no a 1,4. La fórmula respeta el techo. Ahora supongamos que aparece una tercera regla en contra, porque el paciente no tiene tos, lo cual es raro en una gripe:

• R3: SI no hay tos ENTONCES gripe, con $CF_{\text{regla}} = -0{,}4$.

Combinamos el 0,92 acumulado con el $-0{,}4$. Signos opuestos, tercera rama:

$$CF = \frac{0{,}92 + (-0{,}4)}{1 - \min(0{,}92,\, 0{,}4)} = \frac{0{,}52}{1 - 0{,}4} = \frac{0{,}52}{0{,}6} \approx 0{,}87$$

La evidencia en contra ha rebajado la creencia de 0,92 a 0,87, pero sin tumbarla. Para las premisas compuestas, MYCIN usa los mismos operadores que veremos en la parte difusa: el mínimo para la conjunción (Y) y el máximo para la disyunción (O).

$$CF(e_1 \land e_2) = \min\big(CF(e_1),\, CF(e_2)\big), \qquad CF(e_1 \lor e_2) = \max\big(CF(e_1),\, CF(e_2)\big)$$

En palabras: cuando una premisa une varias condiciones, la certeza de un «Y» es la de la condición más floja (su eslabón más débil) y la de un «O» es la de la condición más fuerte.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$e_1, e_2$	Las condiciones que forman la premisa.	«fiebre alta» y «dolor muscular».
$\min(\cdot)$	Mínimo de los grados, para el «Y».	$\min(0{,}5,\, 0{,}9) = 0{,}5$.
$\max(\cdot)$	Máximo de los grados, para el «O».	$\max(0{,}5,\, 0{,}9) = 0{,}9$.

Por qué se usaron y por qué se quedaron cortos

Los factores de certeza funcionaron en la práctica y eran fáciles de explicar a un médico: cada regla tenía su número, y el sistema podía mostrar la cadena de reglas que llevó a una conclusión. Eso conecta de lleno con el capítulo 4, donde los sistemas expertos se apoyan en esta misma trazabilidad para justificar una decisión. Pero tenían un defecto de fondo que sus propios autores reconocieron: los CF no son probabilidades, aunque a veces se comporten parecido. La fórmula de combinación supone que las evidencias son independientes y modulares, algo que casi nunca se cumple, y puede dar resultados inconsistentes cuando las reglas se encadenan mucho. Con el tiempo, las redes bayesianas del capítulo 2 ofrecieron un fundamento más sólido para la incertidumbre, y los factores de certeza quedaron como una pieza histórica. Pero su espíritu (reglas graduales, fáciles de auditar) sigue vivo cada vez que un sistema asigna una puntuación de confianza a una conclusión.

Conjuntos difusos: pertenecer a medias

Volvamos a la vaguedad pura, que es donde Zadeh hizo su aportación. En la teoría de conjuntos de toda la vida, un elemento pertenece o no pertenece a un conjunto. El conjunto de los «mayores de edad» es nítido: con 17 años y 364 días estás fuera; con 18, dentro. La función que describe esa pertenencia solo toma dos valores, 0 o 1.

Un conjunto difuso rompe esa frontera. Su función de pertenencia ya no devuelve 0 o 1, sino cualquier valor del intervalo $[0, 1]$:

$$\mu_A : X \rightarrow [0, 1]$$

En palabras: una función de pertenencia toma cualquier valor del universo y le asigna un número entre 0 y 1 que dice cuánto encaja ese valor en el conjunto difuso, desde nada en absoluto (0) hasta del todo (1).

Símbolo	Significado	Ejemplo
$A$	El conjunto difuso.	«Temperatura caliente».
$X$	El universo de discurso: los valores posibles.	Grados centígrados de 0 a 40.
$x$	Un valor concreto del universo.	$x = 22$ °C.
$\mu_A(x)$	Grado de pertenencia de $x$ al conjunto $A$.	$\mu_{\text{caliente}}(22) = 0{,}1$.

Si $\mu_A(x) = 1$, el valor pertenece de lleno; si $\mu_A(x) = 0$, está completamente fuera; y todo lo de en medio es pertenencia parcial. Una temperatura de 22 °C puede pertenecer a «templado» con grado 0,8 y a «caliente» con grado 0,1: encaja mucho en una etiqueta y un poco en la vecina.

Las formas habituales de una función de pertenencia

En la práctica no se dibujan curvas caprichosas. Se usan unas pocas formas sencillas, porque son fáciles de definir con dos o cuatro números y rápidas de calcular. Las dos más comunes son la triangular y la trapezoidal.

La triangular sube desde 0 hasta un pico y vuelve a bajar. Se define con tres puntos: dónde empieza a subir ($a$), dónde está el pico ($b$) y dónde acaba de bajar ($c$):

$$\mu_{\triangle}(x;\, a, b, c) = \max\!\left(\min\!\left(\frac{x - a}{b - a},\; \frac{c - x}{c - b}\right),\; 0\right)$$

En palabras: el grado sube en línea recta desde 0 en el punto $a$ hasta 1 en el pico $b$, y baja igual de recto hasta 0 en $c$; fuera del intervalo $[a, c]$ vale 0.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$x$	Valor de entrada que evaluamos.	$22$ °C.
$a, b, c$	Pie de subida, pico y pie de bajada.	$10, 20, 30$ para «templado».
$\mu_{\triangle}(x)$	Grado de pertenencia resultante.	$0{,}8$ a 22 °C.

La trapezoidal es igual pero con una meseta plana arriba, útil cuando hay un rango de valores que pertenecen «del todo». Se define con cuatro puntos:

$$\mu_{\text{trap}}(x;\, a, b, c, d) = \max\!\left(\min\!\left(\frac{x - a}{b - a},\; 1,\; \frac{d - x}{d - c}\right),\; 0\right)$$

En palabras: funciona como la triangular, pero con una meseta plana en 1 entre $b$ y $c$: se sube hasta $b$, todos los valores entre $b$ y $c$ pertenecen del todo, se baja desde $c$, y fuera de $[a, d]$ el grado es 0.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$x$	Valor de entrada que evaluamos.	$23$ °C.
$a, b, c, d$	Pie izquierdo, inicio y fin de la meseta, pie derecho.	$18, 20, 24, 26$ para «temperatura confortable».
$\mu_{\text{trap}}(x)$	Grado de pertenencia resultante.	$1$ en toda la meseta.

Forma	Parámetros	Cuándo conviene
Triangular	$a, b, c$	Un valor «ideal» único y descenso a ambos lados.
Trapezoidal	$a, b, c, d$	Un rango entero que pertenece de lleno (la meseta).

Variables lingüísticas: poner palabras a los números

Aquí aparece una de las ideas más bonitas de Zadeh: la variable lingüística. En vez de tratar la temperatura como un número, la tratamos como una variable cuyos valores son palabras: frío, templado, caliente. Cada palabra es una etiqueta asociada a un conjunto difuso con su función de pertenencia. Así, la frase «hace calor» deja de ser metáfora y pasa a tener una traducción matemática precisa.

El siguiente diagrama muestra tres etiquetas solapadas sobre el eje de temperatura. Fíjate en cómo se montan unas sobre otras: ese solapamiento es justo lo que permite que un valor pertenezca a dos categorías a la vez.

Con estas tres etiquetas, definidas como triángulos, la lectura de 22 °C es directa. La etiqueta «frío» tiene pico en 0 °C y llega a cero en 20 °C, así que a 22 °C ya vale 0. «Templado» es un triángulo con pico en 20 °C que baja hasta 0 en 10 y en 30; a 22 °C su grado es $(30 - 22)/10 = 0{,}8$. «Caliente» sube desde 0 en 20 °C hasta 1 en 40 °C; a 22 °C vale $(22 - 20)/20 = 0{,}1$. Esos son los dos puntos marcados en el diagrama.

Etiqueta	Definición triangular	$\mu$ a 22 °C
frío	$\triangle(x;\, -, 0, 20)$	0
templado	$\triangle(x;\, 10, 20, 30)$	0,8
caliente	$\triangle(x;\, 20, 40, -)$	0,1

Operadores y reglas difusas

Una vez que tenemos grados de verdad, necesitamos combinarlos. La lógica difusa hereda los tres conectores de la lógica clásica, pero los reescribe para que funcionen con valores continuos. Las definiciones estándar de Zadeh son:

$$\mu_{A \cap B}(x) = \min\big(\mu_A(x),\, \mu_B(x)\big) \quad \text{(conjunción, Y)}$$

En palabras: algo cumple «$A$ y $B$» tanto como cumpla la condición que peor lleva, así que se toma el menor de los dos grados.

$$\mu_{A \cup B}(x) = \max\big(\mu_A(x),\, \mu_B(x)\big) \quad \text{(disyunción, O)}$$

En palabras: algo cumple «$A$ o $B$» tanto como cumpla la condición que mejor lleva, así que se toma el mayor de los dos grados.

$$\mu_{\neg A}(x) = 1 - \mu_A(x) \quad \text{(complemento, NO)}$$

En palabras: el grado de «no $A$» es lo que le falta a $A$ para llegar a 1; si algo pertenece a «caliente» con 0,7, pertenece a «no caliente» con 0,3.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$\mu_A(x)$	Grado de $x$ en el conjunto $A$.	templado a 22 °C: $0{,}8$.
$\mu_B(x)$	Grado de $x$ en el conjunto $B$.	caliente a 22 °C: $0{,}1$.
$\min,\ \max,\ 1-$	Operadores para Y, O y NO.	$\min(0{,}8,\, 0{,}1) = 0{,}1$.

Operador	Regla difusa	Comprobación con extremos
Y (conjunción)	mínimo de los grados	$\min(1,1)=1$, $\min(1,0)=0$: coincide con el AND clásico.
O (disyunción)	máximo de los grados	$\max(0,0)=0$, $\max(1,0)=1$: coincide con el OR clásico.
NO (complemento)	uno menos el grado	$1 - 1 = 0$, $1 - 0 = 1$: coincide con la negación clásica.

Lo elegante es que, si solo metemos ceros y unos, estos operadores se comportan exactamente como los booleanos de toda la vida. La lógica difusa contiene a la clásica como caso particular, igual que en el capítulo 5 del Facsímil 2 vimos que un CSP contiene a SAT. Ross subraya este punto: los conectores difusos generalizan los clásicos sin contradecirlos, lo que permite construir reglas que degradan suavemente en lugar de saltar de golpe.⁵

Con los operadores en la mano, una regla difusa SI-ENTONCES tiene la misma pinta que una regla normal, pero sus términos son etiquetas difusas:

$$\text{SI servicio es } \textit{excelente} \text{ O comida es } \textit{buena} \text{ ENTONCES propina es } \textit{alta}$$

En palabras: si el servicio es excelente o la comida es buena, la propina debería ser alta; pero como cada etiqueta se cumple solo en cierto grado, la conclusión «propina alta» se activará en ese mismo grado, no de golpe.

La diferencia es que la premisa no es verdadera o falsa: se cumple en cierto grado, y ese grado «moja» a la conclusión. Veámoslo de principio a fin.

Inferencia de Mamdani: un controlador de propina paso a paso

El método más conocido para razonar con reglas difusas es la inferencia de Mamdani, propuesta por Ebrahim Mamdani y Sedrak Assilian en 1975 para controlar una máquina de vapor cuando las ecuaciones clásicas se quedaban cortas.⁶ Tiene cuatro pasos: fuzzificar, evaluar las reglas, agregar y defuzzificar. Vamos a recorrerlos enteros con números, usando el ejemplo clásico de calcular la propina de un restaurante en función de la calidad del servicio y de la comida.

El problema. Dos entradas, ambas valoradas de 0 a 10: la calidad del servicio y la calidad de la comida. Una salida: el porcentaje de propina, de 0 a 25 %. Definimos las etiquetas así:

Variable	Etiquetas (conjuntos difusos)
servicio (0-10)	malo $\triangle(-,0,5)$, aceptable $\triangle(0,5,10)$, excelente $\triangle(5,10,-)$
comida (0-10)	mala $\triangle(-,0,5)$, buena $\triangle(5,10,-)$
propina (0-25 %)	baja $\triangle(-,0,12{,}5)$, media $\triangle(0,12{,}5,25)$, alta $\triangle(12{,}5,25,-)$

Y tres reglas, que resumen el sentido común de cualquier comensal:

• R1: SI servicio es malo O comida es mala ENTONCES propina es baja.
• R2: SI servicio es aceptable ENTONCES propina es media.
• R3: SI servicio es excelente O comida es buena ENTONCES propina es alta.

Supongamos una cena concreta: el servicio fue notable, $servicio = 7$, y la comida estuvo muy bien, $comida = 8$.

Antes de meternos en los cálculos, este es el recorrido completo de un extremo a otro: dos números crudos entran por la izquierda y salen, por la derecha, convertidos en una sola propina. Cada paso transforma un poco más la información hasta colapsarla en una cifra.

Paso 1: fuzzificación

Fuzzificar es traducir los números crudos a grados de pertenencia. Para $servicio = 7$:

Etiqueta de servicio	Cálculo	Grado
malo	$7 > 5$	0
aceptable	$(10 - 7)/5$	0,6
excelente	$(7 - 5)/5$	0,4

Para $comida = 8$:

Etiqueta de comida	Cálculo	Grado
mala	$8 > 5$	0
buena	$(8 - 5)/5$	0,6

Paso 2: evaluación de las reglas

Cada regla calcula la fuerza de su premisa con los operadores difusos, y esa fuerza limita su conclusión. La premisa con «O» usa el máximo; con «Y» usaría el mínimo.

Regla	Premisa	Operación	Fuerza de activación
R1	servicio malo (0) O comida mala (0)	$\max(0, 0)$	0
R2	servicio aceptable (0,6)	—	0,6
R3	servicio excelente (0,4) O comida buena (0,6)	$\max(0{,}4,\, 0{,}6)$	0,6

R1 no se activa en absoluto (fuerza 0), así que «propina baja» no contribuye. R2 activa «propina media» con fuerza 0,6 y R3 activa «propina alta» con fuerza 0,6. En Mamdani, esa fuerza recorta (operación mínimo) la función de pertenencia de la conclusión: el triángulo de «media» se queda con un techo plano a la altura 0,6, y lo mismo le pasa a «alta».

Paso 3: agregación

Ahora superponemos todas las conclusiones recortadas en una sola figura, tomando el máximo punto a punto. El resultado es un único conjunto difuso de salida, con esta forma sobre el eje de la propina:

$$\mu(z) = \max\Big(\min\big(0{,}6,\, \mu_{\text{media}}(z)\big),\; \min\big(0{,}6,\, \mu_{\text{alta}}(z)\big)\Big)$$

En palabras: en cada punto del eje de la propina ponemos la mayor de las alturas que aportan las reglas activas, después de recortar cada conclusión a su fuerza; es decir, superponemos «media» y «alta» recortadas y nos quedamos con el contorno más alto.

Símbolo	Significado	Ejemplo
$z$	Un valor del eje de salida, la propina.	$15$ %.
$\mu_{\text{media}}(z),\, \mu_{\text{alta}}(z)$	Pertenencia de $z$ a cada conclusión.	faldas de «media» y «alta».
$0{,}6$	Fuerza que recorta cada regla (su techo).	de R2 y R3.
$\mu(z)$	Altura de la figura agregada en $z$.	el contorno superior.

El siguiente diagrama dibuja esa figura agregada. Sube por la izquierda (la falda de «media»), se aplana en 0,6, tiene una pequeña muesca donde «media» y «alta» se cruzan por debajo del techo, y vuelve a 0,6 hasta el extremo derecho (la cima recortada de «alta»).

Paso 4: defuzzificación por centroide

La figura agregada todavía es difusa, pero el camarero necesita un número: ¿cuánto dejo de propina? Defuzzificar es colapsar esa figura en un valor concreto. El método más usado es el centroide o centro de gravedad: el punto del eje donde la figura «se equilibraría» si fuera una placa con peso.

$$z^* = \frac{\displaystyle \int z\,\mu(z)\,dz}{\displaystyle \int \mu(z)\,dz} \;\approx\; \frac{\displaystyle \sum_i z_i\,\mu(z_i)}{\displaystyle \sum_i \mu(z_i)}$$

En palabras: el valor final es el promedio de todas las posiciones del eje, pero ponderando cada una por la altura de la figura en ese punto; equivale a buscar el punto donde la figura quedaría en equilibrio si fuese una placa con peso.

Símbolo	Significado
$z^*$	Valor defuzzificado: la propina final.
$\mu(z)$	Grado de pertenencia de la figura agregada en cada punto $z$.
numerador	Suma de cada posición ponderada por su «altura» (el momento).
denominador	Área total de la figura.

Calculemos el centroide de nuestra figura. Conviene partirla en tramos geométricos sencillos y sumar el área de cada uno y su momento (área por la posición de su propio centro). La figura tiene cinco tramos:

Tramo	Forma	Área $\int\mu\,dz$	Momento $\int z\,\mu\,dz$
$[0;\,7{,}5]$	triángulo que sube a 0,6	2,250	11,250
$[7{,}5;\,17{,}5]$	rectángulo de altura 0,6	6,000	75,000
$[17{,}5;\,20]$	rectángulo con muesca hacia 0,5	1,375	25,781
$[20;\,25]$	rectángulo de altura 0,6	3,000	67,500
Total		12,625	179,531

Dividiendo el momento total entre el área total:

$$z^* = \frac{179{,}531}{12{,}625} \approx 14{,}22$$

El controlador difuso recomienda una propina de aproximadamente 14,2 %. Y fíjate en lo que ha pasado: un servicio de 7 y una comida de 8 no han disparado ni la propina mínima ni la máxima, sino un valor intermedio razonable, mezclando suavemente «media» y «alta» según cuánto se activó cada regla. Ningún umbral brusco; una transición continua. Eso es exactamente lo que la lógica binaria no sabía hacer y lo que hace tan útiles a estos controladores.

Método de defuzzificación	Qué devuelve	Carácter
Centroide	Centro de gravedad de la figura.	Suave, tiene en cuenta toda la forma.
Bisector	El $z$ que parte el área en dos mitades iguales.	Parecido al centroide, algo más barato.
Máximo (media)	Promedio de los puntos donde $\mu$ es máxima.	Brusco, ignora la forma de las faldas.

En el día a día

Aunque haya nacido en un laboratorio, la lógica difusa lleva décadas dentro de electrodomésticos que probablemente tienes en casa. Es uno de esos casos en los que una idea académica se volvió tan común que dejó de mencionarse. Donde más triunfó fue en el control, justo el terreno que conecta con la robótica y los sistemas embebidos.

Aparato	Entradas difusas	Salida controlada
Aire acondicionado	temperatura, ritmo de cambio	potencia del compresor
Lavadora	suciedad del agua, tamaño de la carga	duración del ciclo, agua
Cámara de fotos	contraste de la escena, movimiento	enfoque, estabilización
Tren metropolitano	velocidad, distancia a la parada	aceleración y frenado suaves
Riego de jardín	humedad del suelo, previsión de lluvia	caudal y duración del riego
Frenos ABS	deslizamiento de la rueda, velocidad	presión de frenado

La razón por la que arrasó en control es la que vimos en el ejemplo de la propina: un controlador difuso pasa de un estado a otro sin escalones bruscos. Un termostato binario enciende y apaga de golpe, y notas el vaivén; uno difuso ajusta la potencia de forma gradual y mantiene la habitación más estable con menos consumo. El metro de Sendai, en Japón, fue un caso célebre de frenado difuso tan suave que los pasajeros apenas lo notaban.

El siguiente diagrama enfrenta las dos formas de mandar sobre el mismo aire acondicionado. El control por umbral mantiene el aparato apagado hasta los 25 °C y entonces lo dispara al 100 %: justo en la frontera, una décima de grado decide entre nada y todo, y el aparato se pasa el rato encendiéndose y apagándose. El control difuso, en cambio, empieza a soplar flojito en cuanto la habitación se entibia y va subiendo la potencia conforme sube la temperatura, sin saltos.

La misma lógica aparece en sitios menos visibles. Un sistema de riego automático no abre la válvula a tope en cuanto el suelo baja de un umbral: mide la humedad de la tierra y la previsión de lluvia y gradúa el caudal, de modo que un día algo seco recibe un riego suave en lugar de un encharcamiento. Los frenos ABS de muchos coches modulan la presión según cuánto desliza la rueda y a qué velocidad va, buscando el punto justo entre el bloqueo y la frenada timorata. Y una cámara de fotos ajusta enfoque y estabilización combinando el contraste de la escena y el movimiento detectado, dos entradas que nunca son del todo «sí» o «no». En todos estos casos la gracia es la misma del termostato: cambiar un interruptor brusco por una respuesta que acompaña al mundo en lugar de pelearse con él.

En el mundo del software de negocio, la lógica difusa vive hoy en las reglas graduales: puntuaciones de riesgo, sistemas de recomendación con preferencias suaves, motores de decisión donde «cliente muy fiel» o «pedido bastante urgente» se modelan como grados en lugar de umbrales secos. Donde no encaja especialmente es en los grandes modelos de lenguaje: un LLM aprende sus propias representaciones internas y no razona con funciones de pertenencia explícitas. Pero su primo cercano, la idea de guardrails graduales que vimos en el Facsímil 2, sí bebe de aquí: una política que no sea «permitido / prohibido» a secas, sino «permitido con grado de confianza», es una política difusa con otro nombre.

Por qué debería importarte

Porque la mayoría de las decisiones reales no son binarias y, sin embargo, seguimos programándolas con if rígidos que esconden umbrales arbitrarios. «Si la temperatura supera 25, enciende el aire» convierte una realidad gradual en un interruptor, y luego nos extraña que el sistema oscile o se comporte de forma tosca justo en la frontera.

La lógica difusa te da un vocabulario para razonar con grados sin renunciar a obtener un número concreto al final. Y los factores de certeza te enseñan que se puede asignar confianza a una conclusión y combinar evidencias sin montar toda la maquinaria probabilística. Las dos ideas comparten una lección que recorre este facsímil entero: entre el «sí» y el «no» hay un territorio enorme, y modelarlo explícitamente casi siempre produce sistemas más estables y más fáciles de explicar que fingir que ese territorio no existe.

Dónde solía tropezar yo

Error	Por qué es un error	Antídoto
Confundir grado de pertenencia con probabilidad	Que algo pertenezca a «caliente» con 0,7 no significa que haya un 70 % de probabilidad de que sea caliente. Son cosas distintas y los números no suman 1.	Pregúntate si la duda es «¿ocurrirá?» (probabilidad) o «¿cuánto se cumple?» (difusa).
Diseñar etiquetas que no se solapan	Si «templado» acaba justo donde empieza «caliente», recuperas los saltos bruscos que querías evitar.	Haz que las funciones de pertenencia se monten unas sobre otras en las fronteras.
Olvidar normalizar las escalas de entrada	Como en el k-means del Facsímil 1, una entrada en miles y otra entre 0 y 1 distorsionan las reglas.	Define cada universo de discurso con su rango real antes de fuzzificar.
Encadenar factores de certeza sin medir	Los CF pierden sentido cuando se encadenan muchas reglas dependientes; la creencia final puede no significar nada.	Para cadenas largas o evidencias correlacionadas, valora una red bayesiana del capítulo 2.
Elegir el método de defuzzificación al azar	El centroide y el método del máximo pueden dar valores muy distintos sobre la misma figura.	Elige el método según si quieres suavidad (centroide) o decisión tajante (máximo).

Cómo encaja todo

Este capítulo cierra un triángulo, no una escalera, y la diferencia importa. El capítulo 1 de este Facsímil 12 nos dio la lógica binaria, donde una afirmación es verdadera o falsa sin matices. El capítulo 2 nos dio la probabilidad, para los días en que no sabemos qué pasará. Y aquí hemos puesto el tercer vértice, la imprecisión, para cuando la propia frase admite grados. Ninguno destrona a los otros: un buen ingeniero sabe que son herramientas distintas para preguntas distintas, igual que un cocinero no tira el cuchillo por tener una batidora.

La conexión más fina, y la que más se confunde, es con ese capítulo 2. Allí, la probabilidad de que mañana llueva mide tu ignorancia sobre un hecho que será nítido: lloverá o no lloverá, y al asomarte a la ventana la duda se evapora. Aquí, en cambio, decir que a 22 °C la habitación está «templada con grado 0,8» no es ignorancia que vaya a resolverse: por mucho que mires el termómetro, 22 °C seguirá siendo templado a medias. Por eso los grados de pertenencia no suman 1 y las probabilidades sí. Cuando alguien te diga «hay un 70 % de que esto sea caliente», párate un segundo: casi siempre quiere decir «esto pertenece a caliente con grado 0,7», y son cosas distintas. Llevar la herramienta equivocada a ese problema es como medir un trozo de tela con un cronómetro.

Los factores de certeza miran en la otra dirección, hacia el capítulo 4 de este mismo facsímil. No nacieron como teoría elegante, sino dentro de los sistemas expertos: MYCIN, el consultor de infecciones de Stanford, necesitaba combinar reglas que un médico nunca habría firmado como verdades absolutas («si hay fiebre, tiendo a pensar en gripe»). Ese «tiendo a pensar» es un CF, y la cadena de reglas que MYCIN encadenaba para llegar a una conclusión es exactamente lo que el capítulo 4 celebra como explicabilidad: un sistema que no solo decide, sino que puede enseñarte el camino que recorrió. Cuando hoy una herramienta te muestra «recomendado con un 82 % de confianza, porque A y porque B», estás viendo el nieto lejano de aquellos factores de certeza.

Hacia fuera del facsímil, la lógica difusa enlaza con dos sitios que parecen lejanos pero comparten raíz. El primero son los guardrails graduales del capítulo 8 del Facsímil 2. Una política de seguridad que solo sepa decir «permitido» o «prohibido» se comporta como aquel termostato de un solo umbral: salta de golpe y se equivoca justo en la frontera. Una política que diga «permitido con grado de confianza» y deje pasar, bloquear o pedir revisión según ese grado es, sin más, una política difusa con otro nombre; el solapamiento entre etiquetas que dibujamos para frío y templado es el mismo que evita que un filtro de contenidos trate igual un caso clarísimo y uno dudoso. El segundo sitio, y donde la lógica difusa de verdad ganó la partida, es el control en electrodomésticos y robótica. La transición suave que calculamos para la propina es la misma que mantiene estable la temperatura de un aire acondicionado sin el vaivén de encender y apagar, la que ajusta el ciclo de una lavadora a lo sucia que está el agua, o la que frenaba el metro de Sendai con tanta delicadeza que los pasajeros no se agarraban a las barras. En todos esos casos no hubo una red neuronal ni un modelo gigantesco: hubo un puñado de reglas en lenguaje casi natural y un centroide, como el que hemos calculado a mano. Esa es, quizá, la mejor lección del capítulo: a veces la idea más útil no es la más sofisticada, sino la que se atreve a tomarse en serio el «más o menos».

graph TD
    subgraph "Facsímil 12: la verdad en tres ejes"
        BIN["Lógica binaria<br/>(cap. 1)"]
        PROB["Probabilidad<br/>(cap. 2)"]
        CF["Factores de certeza<br/>reglas con CF"]
        FUZZY["Lógica difusa<br/>grados de pertenencia"]
        MAMDANI["Mamdani<br/>fuzzificar → defuzzificar"]
        EXPERT["Sistemas expertos<br/>(cap. 4)"]
    end
    subgraph "Se reutiliza fuera"
        GUARD["Guardrails graduales<br/>(Facsímil 2, cap. 8)"]
        CONTROL["Control y robótica"]
    end

    BIN -->|"generaliza a grados"| FUZZY
    PROB -->|"alternativa ligera"| CF
    CF -->|"vivían en"| EXPERT
    FUZZY -->|"operadores y reglas"| MAMDANI
    MAMDANI -->|"salida suave"| CONTROL
    FUZZY -->|"confianza por grados"| GUARD
    CF -->|"trazabilidad"| EXPERT

    style BIN stroke-dasharray: 5 5
    style PROB stroke-dasharray: 5 5
    style GUARD stroke-dasharray: 5 5
    style CONTROL stroke-dasharray: 5 5
    style FUZZY fill:#F5F5F5,stroke:#000000,stroke-width:2

Vocabulario aprendido

Término	Definición
Lógica difusa	Lógica de grados de verdad entre 0 y 1, no solo verdadero o falso.
Conjunto difuso	Conjunto donde cada elemento pertenece con un grado entre 0 y 1.
Función de pertenencia	Función que asigna a cada valor su grado de pertenencia a un conjunto difuso.
Grado de verdad	Valor entre 0 y 1 que cuantifica cuánto se cumple una afirmación difusa.
Variable lingüística	Variable cuyos valores son etiquetas como «bajo», «medio» o «alto».
Factor de certeza (CF)	Medida entre $-1$ y 1 del grado de creencia en una afirmación, usada en MYCIN.
Inferencia de Mamdani	Método de inferencia difusa: fuzzificar, evaluar reglas, agregar y defuzzificar.
Defuzzificación	Convertir un resultado difuso en un número concreto, por ejemplo con el centroide.
Centroide	Centro de gravedad de la figura agregada, el método de defuzzificación más usado.

Antes de pasar página

• ¿Puedo explicar la diferencia entre incertidumbre e imprecisión con un ejemplo de cada una? (Si no, vuelve a «Dos cosas distintas que llamamos incierto».)
• ¿Sé combinar dos factores de certeza positivos y entiendo por qué nunca superan 1? (Si no, vuelve a «Factores de certeza».)
• ¿Puedo dibujar una función de pertenencia triangular y leer el grado de un valor concreto? (Si no, vuelve a «Conjuntos difusos».)
• ¿Recuerdo qué operador difuso corresponde a Y, a O y a NO? (Si no, vuelve a «Operadores y reglas difusas».)
• ¿Sé recorrer los cuatro pasos de Mamdani: fuzzificar, evaluar, agregar y defuzzificar? (Si no, vuelve a «Inferencia de Mamdani».)
• ¿Entiendo qué calcula el centroide y por qué da un valor suave? (Si no, vuelve a «Paso 4: defuzzificación por centroide».)
• ¿He ejecutado el cuaderno y comprobado que el centroide ronda el 14,2 %?

En resumen

Idea fuerza	Detalle
Incertidumbre e imprecisión no son lo mismo.	La probabilidad mide si un hecho nítido ocurre; la lógica difusa mide cuánto se cumple un predicado vago.
Los factores de certeza fueron el apaño práctico de los sistemas expertos.	Un CF entre $-1$ y 1 combina evidencias sin la maquinaria bayesiana completa, a cambio de un fundamento más débil.
Un conjunto difuso pertenece a medias.	La función de pertenencia da grados entre 0 y 1, y las etiquetas solapadas convierten números en palabras.
Mamdani transforma reglas en números.	Fuzzificar, evaluar reglas con min y max, agregar y defuzzificar producen una salida concreta y suave.
La lógica difusa brilla en control.	Termostatos, lavadoras y trenes la usan porque evita los saltos bruscos de la lógica binaria.

Para saber más

Buchanan, B. G. y Shortliffe, E. H. (1984). Rule-based expert systems: The MYCIN experiments of the Stanford Heuristic Programming Project. Addison-Wesley.

Mamdani, E. H. y Assilian, S. (1975). An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller. International Journal of Man-Machine Studies, 7(1), 1-13. https://doi.org/10.1016/S0020-7373(75)80002-2

Ross, T. J. (2010). Fuzzy logic with engineering applications (3.ª ed.). Wiley.

Russell, S. y Norvig, P. (2021). Artificial intelligence: a modern approach (4.ª ed.). Pearson.

Shortliffe, E. H. (1976). Computer-based medical consultations: MYCIN. Elsevier.

Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8(3), 338-353. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X

Notas

1. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8(3), 338-353. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X ↩

2. Russell, S. y Norvig, P. (2021). Artificial intelligence: a modern approach (4.ª ed.). Pearson. El capítulo sobre razonamiento con incertidumbre separa explícitamente la vaguedad (lógica difusa) de la incertidumbre probabilística, y advierte de los errores que surgen al confundirlas. ↩

3. Shortliffe, E. H. (1976). Computer-based medical consultations: MYCIN. Elsevier. La obra describe el sistema MYCIN y, en particular, el modelo de factores de certeza diseñado para razonar con reglas médicas que no eran lógicamente concluyentes. ↩

4. Buchanan, B. G. y Shortliffe, E. H. (1984). Rule-based expert systems: The MYCIN experiments of the Stanford Heuristic Programming Project. Addison-Wesley. Recopila el modelo de factores de certeza, sus reglas de combinación y la discusión sobre sus límites teóricos frente a la probabilidad. ↩

5. Ross, T. J. (2010). Fuzzy logic with engineering applications (3.ª ed.). Wiley. Desarrolla las operaciones sobre conjuntos difusos, los sistemas de reglas y los métodos de inferencia y defuzzificación que se usan en control. ↩

6. Mamdani, E. H. y Assilian, S. (1975). An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller. International Journal of Man-Machine Studies, 7(1), 1-13. https://doi.org/10.1016/S0020-7373(75)80002-2 ↩